Што такое датычная да акружнасці? Ўласцівасці датычнай да акружнасці. Агульная датычная да двух акружнасці

Сечная, датычныя - усё гэта сотні разоў можна было чуць на ўроках геаметрыі. Але выпуск са школы ззаду, праходзяць гады, і ўсе гэтыя веды забываюцца. Што варта ўспомніць?

сутнасць

Тэрмін "датычная да акружнасці" знакам, напэўна, усім. Але наўрад ці ва ўсіх атрымаецца хутка сфармуляваць яго вызначэнне. Між тым датычнай называюць такую прамую, якая ляжыць у адной плоскасці з акружнасцю, якая перасякае яе толькі ў адным пункце. Іх можа існаваць велізарнае мноства, але ўсе яны валодаюць аднолькавымі ўласцівасцямі, пра якія гаворка пойдзе ніжэй. Як няцяжка здагадацца, кропкай дотыку называюць тое месца, дзе акружнасць і прамая перасякаюцца. У кожным канкрэтным выпадку яна адна, калі ж іх больш, то гэта будзе ўжо сечная.

Гісторыя адкрыцця і вывучэння

Паняцце датычнай з'явілася яшчэ ў старажытнасці. Пабудова гэтых прамых спачатку да акружнасці, а потым да эліпс, парабалу і гіпербалу з дапамогай лінейкі і цыркуля праводзілася яшчэ на пачатковых этапах развіцця геаметрыі. Зразумела, гісторыя не захавала імя першаадкрывальніка, але відавочна, што яшчэ ў той час людзям былі цалкам вядомыя ўласцівасці датычнай да акружнасці.

У Новы час цікавасць да гэтай з'явы разгарэўся зноў - пачаўся новы віток вывучэння гэтага паняцця ў спалучэнні з адкрыццём новых крывых. Так, Галілей увёў паняцце циклоиды, а Ферма і Дэкарт пабудавалі да яе датычна. Што ж тычыцца акружнасцяў, здаецца, яшчэ для старажытных не засталося сакрэтаў у гэтай галіне.

ўласцівасці

Радыус, праведзены ў кропку перасячэння, будзе перпендыкулярны прамой. гэта асноўнае, але не адзінае ўласцівасць, якое мае датычная да акружнасці. Яшчэ адна важная асаблівасць ўключае ў сябе ўжо дзве прамыя. Так, праз адну кропку, якая ляжыць па-за акружнасці, можна правесці дзве датычныя, пры гэтым іх адрэзкі будуць роўныя. Ёсць і яшчэ адна тэарэма па гэтай тэме, аднак яе рэдка праходзяць у рамках стандартнага школьнага курсу, хоць для вырашэння некаторых задач яна вельмі зручная. Гучыць яна наступным чынам. З адной кропкі, размешчанай па-за акружнасці, праведзены датычная і сечная да яе. Утвараюцца адрэзкі AB, AC і AD. А - скрыжаванне прамых, B кропка дотыку, C і D - перасячэння. У гэтым выпадку будзе справядлівым наступнае роўнасць: даўжыня датычнай да акружнасці, збудаваная ў квадрат, будзе роўная твору адрэзкаў AC і AD.

З вышэйсказанага ёсць важнае следства. Для кожнай кропкі акружнасці можна пабудаваць датычна, але пры гэтым толькі адну. Доказ гэтага дастаткова проста: тэарэтычна апусціўшы на яе перпендыкуляр з радыусу, высвятляем, што адукаваны трохкутнік існаваць не можа. І гэта значыць, што датычная - адзіная.

пабудова

Сярод іншых задач па геаметрыі ёсць адмысловая катэгорыя, як правіла, не якая карыстаецца любоўю вучняў і студэнтаў. Для вырашэння заданняў з гэтай катэгорыі патрэбныя толькі цыркуль і лінейка. Гэта задачы на пабудову. Ёсць яны і на пабудову датычнай.

Такім чынам, дадзены акружнасць і кропка, якая ляжыць па-за яе межаў. І неабходна правесці праз іх датычна. Як жа гэта зрабіць? Перш за ўсё, трэба правесці адрэзак паміж цэнтрам акружнасці Аб і зададзенай кропкай. Затым з дапамогай цыркуля варта падзяліць яго напалову. Каб гэта зрабіць, неабходна задаць радыус - крыху больш за палову адлегласці паміж цэнтрам першапачатковай акружнасці і дадзенай кропкай. Пасля гэтага трэба пабудаваць дзве перасякальныя дугі. Прычым радыус ў цыркуля мяняць ня трэба, а цэнтрам кожнай часткі акружнасці будуць першапачатковая кропка і Аб адпаведна. Месца перасячэнняў дуг трэба злучыць, што падзеліць адрэзак напалову. Задаць на цыркуль радыус, роўны гэтай адлегласці. Далей з цэнтрам у пункце перасячэння пабудаваць яшчэ адну акружнасць. На ёй будзе ляжаць як першапачатковая кропка, так і О. Пры гэтым будзе яшчэ два перасячэння з дадзенай ў задачы акружнасцю. Менавіта яны і будуць кропкамі дотыку для першапачаткова зададзенай кропкі.

цікавае

Менавіта пабудова датычных да акружнасці прывяло да нараджэння дыферэнцыяльнага вылічэння. Першы праца па гэтай тэме быў апублікаваны вядомым нямецкім матэматыкам Лейбніцам. Ён прадугледжваў магчымасць знаходжання максімумаў, мінімумаў і датычных па-за залежнасці ад дробавых і ірацыянальных велічынь. Што ж, цяпер яно выкарыстоўваецца і для многіх іншых вылічэнняў.

Акрамя таго, датычная да акружнасці звязаная з геаметрычным сэнсам тангенса. Менавіта ад гэтага і адбываецца яго назва. У перакладзе з латыні tangens - "датычная". Такім чынам, гэта паняцце звязана не толькі з геаметрыяй і дыферэнцыяльным падлікам, але і з трыганаметрыі.

дзве акружнасці

Не заўсёды датычная затрагивет толькі адну фігуру. Калі да адной акружнасці можна правесці велізарнае мноства прамых, то чаму ж нельга наадварот? Можна. Вось толькі задача ў гэтым выпадку сур'ёзна ўскладняецца, бо датычная да двух акружнасці можа праходзіць не праз любыя кропкі, а ўзаемнае размяшчэнне ўсіх гэтых фігур можа быць вельмі розным.

Тыпы і разнавіднасці

Калі гаворка ідзе пра два акруговая і адной або некалькіх прамых, то нават калі вядома, што гэта датычныя, не адразу становіцца ясна, як усе гэтыя фігуры размешчаны ў адносінах адзін да аднаго. Зыходзячы з гэтага, адрозніваюць некалькі разнавіднасцяў. Так, акружнасці могуць мець адну ці дзве агульныя кропкі ці не мець іх зусім. У першым выпадку яны будуць перасякацца, а ў другім - дакранацца. І вось тут адрозніваюць дзве разнавіднасці. Калі адна акружнасць як бы ўкладзеная ў другую, то дотык называюць унутраным, калі не - то вонкавым. Зразумець ўзаемнае размяшчэнне фігур можна не толькі, зыходзячы з чарцяжа, але і размяшчаючы інфармацыяй пра суму іх радыусаў і адлегласці паміж імі цэнтрамі. Калі дзве гэтыя велічыні роўныя, то акружнасці тычацца. Калі першая больш - перасякаюцца, а калі менш - то не маюць агульных кропак.

Гэтак жа і з прамымі. Для любых двух акружнасцяў, якія не маюць агульных кропак, можна
пабудаваны ўжо чатыры датычныя. Дзве з іх будуць перасякацца паміж фігурамі, яны называюцца ўнутранымі. Пара іншых - знешнія.

Калі гаворка ідзе пра акруговая, якія маюць адну агульную кропку, то задача сур'ёзна спрашчаецца. Справа ў тым, што пры любым узаемным размяшчэнні ў гэтым выпадку датычная ў іх будзе толькі адна. І праходзіць яна будзе праз кропку іх скрыжавання. Так што пабудова цяжкасці не выкліча.

Калі ж фігуры маюць дзве кропкі перасячэння, то для іх можа быць пабудаваная прамая, датычная да акружнасці як адной, так і другой, але толькі знешняя. Рашэнне гэтай праблемы аналагічна таму, што будзе разгледжана далей.

рашэнне задач

Як унутраная, так і знешняя датычная да двух акружнасці, у пабудове не так ужо простыя, хоць гэтая праблема і вырашальная. Справа ў тым, што для гэтага выкарыстоўваецца дапаможная фігура, так што дадумацца да такога спосабу самастойна даволі праблематычна. Такім чынам, дадзены дзве акружнасці з розным радыусам і цэнтрамі О1 і О2. Для іх трэба пабудаваць дзве пары датычных.

Перш за ўсё, каля цэнтра большай акружнасці трэба пабудаваць дапаможную. Пры гэтым на цыркуль павінна быць ўстаноўлена розніца паміж радыусамі двух першапачатковых фігур. З цэнтра меншай акружнасці будуюцца датычныя да дапаможнай. Пасля гэтага з О1 і О2 праводзяцца перепендикуляры да гэтых прамым да перасячэння з першапачатковымі фігурамі. Як вынікае з асноўнага ўласцівасці датычнай, шуканыя кропкі на абедзвюх акруговая знойдзеныя. Задача вырашана, па крайнім меры, яе першая частка.

Для таго каб пабудаваць ўнутраныя датычныя, прыйдзецца вырашыць практычна аналагічную задачу. Зноў спатрэбіцца дапаможная фігура, аднак на гэты раз яе радыус будзе роўны суме першапачатковых. Да яе будуюцца датычныя з цэнтра адной з дадзеных акружнасцяў. Далейшы ход рашэння можна зразумець з папярэдняга прыкладу.

Датычная да акружнасці або нават двум і больш - не такая ўжо складаная задача. Вядома, матэматыкі даўно перасталі вырашаць падобныя праблемы ўручную і давяраюць вылічэнні спецыяльных праграмах. Але не варта думаць, што цяпер неабавязкова ўмець рабіць гэта самастойна, бо для правільнага фармулявання заданні для кампутара трэба многае зрабіць і зразумець. На жаль, ёсць асцярогі, што пасля канчатковага пераходу на тэставую форму кантролю ведаў задачы на пабудову будуць выклікаць у вучняў ўсё больш цяжкасцяў.

Што ж тычыцца знаходжання агульных датычных для большай колькасці акружнасцяў, гэта не заўсёды магчыма, нават калі яны ляжаць у адной плоскасці. Але ў некаторых выпадках можна знайсці такую прамую.

Прыклады з жыцця

Агульная датычная да двух акружнасці нярэдка сустракаецца і на практыцы, хоць гэта і не заўсёды прыкметна. Канвееры, блокавыя сістэмы, перадаткавыя рамяні шківаў, нацяжэнне ніткі ў швейнай машынцы, ды нават проста веласіпедная ланцуг - усё гэта прыклады з жыцця. Так што не варта думаць, што геаметрычныя задачы застаюцца толькі ў тэорыі: у інжынернай справе, фізіцы, будаўніцтве і шматлікіх іншых галінах яны знаходзяць практычнае прымяненне.