Вектарная велічыня ў фізіцы. Прыклады вектарных велічынь

Фізіка і матэматыка не абыходзяцца без паняцця «вектарная велічыня». Яе неабходна ведаць і пазнаваць, а таксама ўмець зь ёю апераваць. Гэтаму абавязкова варта навучыцца, каб не блытацца і не дапускаць дурных памылак.

Як адрозніць скалярнага велічыню ад вектарнай?

Першая заўсёды мае толькі адну характарыстыку. Гэта яе лікавае значэнне. Большасць скалярных велічынь могуць прымаць як станоўчыя, так і адмоўныя значэння. Іх прыкладамі можа служыць электрычны зарад, праца ці тэмпература. Але ёсць такія скаляры, якія не могуць быць адмоўнымі, напрыклад, даўжыня і маса.

Вектарная велічыня, акрамя лікавы велічыні, якая заўсёды бярэцца па модулю, характарызуецца яшчэ і кірункам. Таму яна можа быць намаляваная графічна, гэта значыць у выглядзе стрэлкі, даўжыня якой роўная модулю велічыні, накіраванай у пэўную бок.

Пры пісьме кожная вектарная велічыня пазначаецца знакам стрэлкі на літарай. Калі ідзе гаворка пра лікавым значэнні, то стрэлка не пішацца ці яе бяруць па модулю.

Якія дзеянні часцей за ўсё выконваюцца з вектарамі?

Спачатку - параўнанне. Яны могуць быць роўнымі ці не. У першым выпадку іх модулі аднолькавыя. Але гэта не адзіная ўмова. У іх павінны быць яшчэ аднолькавыя або супрацьлеглыя напрамкі. У першым выпадку іх варта называць роўнымі вектарамі. У другім яны аказваюцца супрацьлеглымі. Калі не выконваецца хаця б адно з названых умоў, то вектары не роўныя.

Потым ідзе складанне. Яго можна зрабіць па двух правілах: трыкутніка або паралелаграма. Першае загадвае адкладаць спачатку адзін вектар, потым ад яго канца другой. Вынікам складання будзе той, які трэба правесці ад пачатку першага да канца другога.

Правіла паралелаграма можна выкарыстоўваць, калі трэба скласці вектарныя велічыні ў фізіцы. У адрозненне ад першага правілы, тут іх варта адкладаць ад адной кропкі. Потым дабудаваць іх да паралелаграма. Вынікам дзеяння варта лічыць дыяганаль паралелаграма, праведзеную з той жа кропкі.

Калі вектарная велічыня адымаецца з другога, то яны зноў адкладаюцца з адной кропкі. Толькі вынікам будзе вектар, які супадае з тым, што адкладзены ад канца другога да канца першага.

Якія вектары вывучаюць у фізіцы?

Іх так жа шмат, як скаляраў. Можна проста запомніць тое, якія вектарныя велічыні ў фізіцы існуюць. Ці ведаць прыкметы, па якіх іх можна вылічыць. Тым, хто аддае перавагу першы варыянт, спатрэбіцца такая табліца. У ёй прыведзены асноўныя вектарныя фізічныя велічыні.

Абазначэнне ў формуле	Найменне
v	хуткасць
r	перасоўванне
а	паскарэнне
F	сіла
р	імпульс
Е	напружанасць электрычнага поля
У	магнітная індукцыя
М	момант сілы

Зараз трохі падрабязней пра некаторыя з гэтых велічынь.

Першая велічыня - хуткасць

З яе варта пачаць прыводзіць прыклады вектарных велічынь. Гэта абумоўлена тым, што яе вывучаюць у ліку першых.

Хуткасць вызначаецца як характарыстыка руху цела ў прасторы. Ёю задаецца лікавае значэнне і кірунак. Таму хуткасць з'яўляецца вектарнай велічынёй. Да таго ж яе прынята падзяляць на віды. Першы з'яўляецца лінейнай хуткасцю. Яе ўводзяць пры разглядзе прамалінейнага раўнамернага руху. Пры гэтым яна аказваецца роўнай адносінах шляху, пройдзенага целам, да часу руху.

Гэтую ж формулу можна скарыстаць пры нераўнамерна руху. Толькі тады яна будзе з'яўляцца сярэдняй. Прычым інтэрвал часу, які неабходна выбіраць, абавязкова павінен быць як мага менш. Пры імкненні прамежку часу да нуля значэнне хуткасці ўжо з'яўляецца імгненным.

Калі разглядаецца адвольны рух, то тут заўсёды хуткасць - вектарная велічыня. Бо яе прыходзіцца раскладваць на складнікі, накіраваныя ўздоўж кожнага вэктару, накіравальнага каардынатныя прамыя. Да таго ж вызначаецца ён як вытворная радыус-вектара, узятая па часе.

Другая велічыня - сіла

Яна вызначае меру інтэнсіўнасці ўздзеяння, якое аказваецца на цела з боку іншых тэл або палёў. Паколькі сіла - вектарная велічыня, то яна абавязкова мае сваё значэнне па модулю і кірунак. Так як яна дзейнічае на цела, то важным з'яўляецца яшчэ і кропка, да якой прыкладзеная сіла. Каб атрымаць нагляднае ўяўленне аб вектарах сіл, можна звярнуцца да наступнай табліцы.

сіла	кропка прыкладання	напрамак
цяжару	цэнтр цела	да цэнтра Зямлі
сусветнага прыцягнення	цэнтр цела	да цэнтра іншага цела
пругкасці	месца судотыку ўзаемадзейнічаюць тэл	супраць вонкавага ўздзеяння
трэння	паміж датыкальнымі паверхнямі	ў бок, процілеглы руху

Таксама яшчэ вектарнай велічынёй з'яўляецца раўнадзейная сіла. Яна вызначаецца як сума ўсіх дзеючых на цела механічных сіл. Для яе вызначэння неабходна выканаць складанне па прынцыпе правілы трыкутніка. Толькі адкладаць вектары трэба па чарзе ад канца папярэдняга. Вынікам апынецца той, які злучае пачатак першага з канцом апошняга.

Трэцяя велічыня - перасоўванне

Падчас руху цела апісвае некаторую лінію. Яна называецца траекторыяй. Гэтая лінія можа быць цалкам рознай. Важней аказваецца не яе знешні выгляд, а кропкі пачатку і канца руху. Яны злучаюцца адрэзкам, які называецца перамяшчэннем. Гэта таксама вектарная велічыня. Прычым яно заўсёды накіравана ад пачатку перамяшчэння да кропкі, дзе рух было спынена. Пазначаць яго прынята лацінскай літарай r.

Тут можа з'явіцца такое пытанне: «Шлях - вектарная велічыня?». У агульным выпадку гэта сцвярджэнне не з'яўляецца дакладным. Шлях роўны даўжыні траекторыі і не мае вызначанага кірунку. Выключэннем лічыцца сітуацыя, калі разглядаецца прамалінейны рух у адным кірунку. Тады модуль вектара перамяшчэння супадае па значэнні з шляхам, і кірунак у іх аказваецца аднолькавым. Таму пры разглядзе руху ўздоўж прамой без змены кірунку перамяшчэння шлях можна ўключыць у прыклады вектарных велічынь.

Чацвёртая велічыня - паскарэнне

Яно з'яўляецца характарыстыкай хуткасці змены хуткасці. Прычым паскарэнне можа мець як станоўчы, так і адмоўнае значэнне. Пры прамалінейным руху яно накіравана ў бок большай хуткасці. Калі перасоўванне адбываецца па крывалінейнай траекторыі, то вектар яго паскарэння раскладваецца на дзве складнікі, адна з якіх накіравана да цэнтра крывізны па радыусе.

Вылучаюць сярэднюю і імгненнае значэнне паскарэння. Першае варта разлічваць як стаўленне змены хуткасці за некаторы прамежак часу да гэтага часу. Пры імкненні разгляданага інтэрвалу часу да нуля кажуць аб імгненным паскарэнні.

Пятая велічыня - імпульс

Па-іншаму яго яшчэ называюць колькасцю руху. Імпульс вектарнай велічынёй з'яўляецца з-за таго, што наўпрост звязаны з хуткасцю і сілай, прыкладзенай да цела. Абедзве яны маюць кірунак і задаюць яго імпульсу.

Па вызначэнні апошні роўны твору масы цела на хуткасць. Выкарыстоўваючы паняцце імпульсу цела, можна па-іншаму запісаць вядомы закон Ньютана. Атрымліваецца, што змяненне імпульсу роўна твору сілы на прамежак часу.

У фізіцы важную ролю мае закон захавання імпульсу, які сцвярджае, што ў замкнёнай сістэме тэл яе сумарны імпульс з'яўляецца сталым.

Мы вельмі коратка пералічылі, якія велічыні (вектарныя) вывучаюцца ў курсе фізікі.

Задача аб няпругкія ўдары

Ўмова. На рэйках стаіць нерухомая платформа. Да яе набліжаецца вагон з хуткасцю 4 м / с. Масы платформы і вагона - 10 і 40 тон адпаведна. Вагон ўдараецца аб платформу, адбываецца автосцеп. Неабходна вылічыць хуткасць сістэмы "вагон-платформа" пасля ўдару.

Рашэнне. Спачатку патрабуецца ўвесці абазначэння: хуткасць вагона да ўдару - v _1, вагона з платформай пасля счэпкі - v, маса вагона m _1, платформы - m _2. Па ўмове задачы неабходна даведацца значэнне хуткасці v.

Правілы рашэння падобных заданняў патрабуюць схематычна малюнка сістэмы да і пасля ўзаемадзеяння. Вось OX разумна накіраваць ўздоўж рэек у той бок, куды рухаецца вагон.

У дадзеных умовах сістэму вагонаў можна лічыць замкнёнай. Гэта вызначаецца тым, што знешнімі сіламі можна занядбаць. Сіла цяжару і рэакцыя апоры ўраўнаважаны, а трэнне аб рэйкі не ўлічваецца.

Згодна з законам захавання імпульсу, іх вектарная сума да ўзаемадзеяння вагона і платформы роўная агульнаму для счэпкі пасля ўдару. Спачатку платформа не рухалася, таму яе імпульс быў роўны нулю. Перамяшчаўся толькі вагон, яго імпульс - твор m ₁ і v _1.

Бо ўдар быў няпругкія, то ёсць вагон, паспрачаўся з платформай, і далей ён сталі каціцца разам у той жа бок, то імпульс сістэмы не змяніў напрамкі. Але яго значэнне стала іншым. А менавіта творам сумы масы вагона з платформай і шуканай хуткасці.

Можна запісаць такое роўнасць: m ₁ * v ₁ = (m ₁ + m ₂₎ * v. Яно будзе дакладна для праекцыі вектараў імпульсаў на выбраную вось. З яго лёгка вывесці роўнасць, якое спатрэбіцца для вылічэнні шуканай хуткасці: v = m ₁ * v ₁ / (m ₁ + m _2).

Па правілах варта перавесці значэння для масы з тон у кілаграмы. Таму пры падстаноўцы іх у формулу варта спачатку памножыць вядомыя велічыні на тысячу. Простыя разлікі даюць лік 0,75 м / с.

Адказ. Хуткасць вагона з платформай роўная 0,75 м / с.

Задача з падзелам цела на часткі

Ўмова. Хуткасць якая ляціць гранаты 20 м / с. Яна разрываецца на два кавалкі. Маса першага 1,8 кг. Ён працягвае рухацца ў напрамку, у якім ляцела граната, з хуткасцю 50 м / с. Другі аскепак мае масу 1,2 кг. Якая яго хуткасць?

Рашэнне. Хай масы аскепкаў пазначаныя літарамі m ₁ і m _2. Іх хуткасці адпаведна будуць v ₁ і v _2. Пачатковая хуткасць гранаты - v. У задачы трэба вылічыць значэнне v _2.

Для таго каб большы асколак працягваў рухацца ў тым жа кірунку, што і ўся граната, другі павінен паляцець у адваротны бок. Калі абраць за кірунак восі тое, якое было ў пачатковага імпульсу, то пасля разрыву вялікі аскепак ляціць па восі, а маленькі - супраць восі.

У гэтай задачы дазволена карыстацца законам захавання імпульсу з-за таго, што разрыў гранаты адбываецца імгненна. Таму, нягледзячы на тое што на гранату і яе часткі дзейнічае сіла цяжару, яна не паспявае падзейнічаць і змяніць кірунак вектару імпульсу з яго значэннем па модулю.

Сума вектарных велічынь імпульсу пасля разрыву гранаты роўная таго, які быў да яго. Калі запісаць закон захавання імпульсу цела ў праекцыі на вось OX, то ён будзе выглядаць так: (m ₁ + m ₂₎ * v = m ₁ * v ₁ - m ₂ * v _2. З яго проста выказаць шуканую хуткасць. Яна вызначыцца па формуле: v ₂ = ((m ₁ + m ₂₎ * v - m ₁ * v ₁₎ / m _2. Пасля падстаноўкі лікавых значэнняў і разлікаў атрымліваецца 25 м / с.

Адказ. Хуткасць маленькага асколка роўная 25 м / с.

Задача пра стрэл пад вуглом

Ўмова. На платформе масай M ўстаноўлена прылада. З яго вырабляецца стрэл снарадам масай m. Ён вылятае пад вуглом α да гарызонту з хуткасцю v (дадзенай адносна землі). Патрабуецца даведацца значэнне хуткасці платформы пасля стрэлу.

Рашэнне. У гэтай задачы можна выкарыстоўваць закон захавання імпульсу ў праекцыі на вось OX. Але толькі ў тым выпадку, калі праекцыі знешніх раўнадзейных сіл роўная нулю.

За кірунак восі OX трэба выбраць той бок, куды паляціць снарад, і паралельна гарызантальнай лініі. У гэтым выпадку праекцыі сіл цяжару і рэакцыі апоры на OX будуць роўныя нулю.

Задача будзе вырашана ў агульным выглядзе, так як няма канкрэтных дадзеных для вядомых велічынь. Адказам у ёй з'яўляецца формула.

Імпульс сістэмы да стрэлу быў роўны нулю, паколькі платформа і снарад былі нерухомыя. Хай шуканая хуткасць платформы будзе пазначаная лацінскай літарай u. Тады яе імпульс пасля стрэлу вызначыцца як твор масы на праекцыю хуткасці. Так як платформа адкоціцца назад (супраць напрамкі восі OX), тое значэнне імпульсу будзе са знакам мінус.

Імпульс снарада - твор яго масы на праекцыю хуткасці на вось OX. З-за таго, што хуткасць накіравана пад вуглом да гарызонту, яе праекцыя роўная хуткасці, памножанай на косінус кута. У літарным роўнасці гэта будзе выглядаць так: 0 = - Mu + mv * cos α. З яе шляхам нескладаных пераўтварэнняў атрымліваецца формула-адказ: u = (mv * cos α) / M.

Адказ. Хуткасць платформы вызначаецца па формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача аб пераправе праз раку

Ўмова. Шырыня ракі па ўсёй яе даўжыні аднолькавая і роўная l, яе берагі раўналежныя. Вядомая хуткасць плыні вады ў рацэ v ₁ і ўласная хуткасць катэры v _2. 1). Пры пераправе нос катэры накіраваны строга да супрацьлеглага берага. На якую адлегласць s яго знясе ўніз па плыні? 2). Пад якім вуглом α трэба накіраваць нос катэры, каб ён дасягнуў супрацьлеглага берага строга перпендыкулярна да кропкі адпраўлення? Колькі часу t спатрэбіцца на такую пераправу?

Рашэнне. 1). Поўная хуткасць катэры з'яўляецца вектарнай сумай двух велічынь. Першая з іх плынь ракі, якое накіравана ўздоўж берагоў. Другая - ўласная хуткасць катэры, перпендыкулярная берагах. На чарцяжы атрымліваецца два падобных трыкутніка. Першы утвораны шырынёй ракі і адлегласцю, на якое зносіць катэр. Другі - вектарамі хуткасцяў.

З іх вынікае такая запіс: s / l = v ₁ / v _2. Пасля пераўтварэнні атрымліваецца формула для шуканай велічыні: s = l * (v ₁ / v _2).

2). У гэтым варыянце задачы вектар поўнай хуткасці перпендыкулярны берагах. Ён роўны вектарнай суме v ₁ і v _2. Сінус кута, на які павінен адхіляцца вектар уласнай хуткасці, роўны стаўленню модуляў v ₁ і v _2. Для разліку часу руху спатрэбіцца падзяліць шырыню ракі на злічыць поўную хуткасць. Значэнне апошняй вылічаецца па тэарэме Піфагора.

v = √ (v ₂ ² - v ₁ ^2), тады t = l / (√ (v ₂ ² - v ₁ ^2)).

Адказ. 1). s = l * (v ₁ / v _2), 2). sin α = v ₁ / v _2, t = l / (√ (v ₂ ² - v ₁ ^2)).