Дыяганаль равнобокая трапецыі. Чаму роўная сярэдняя лінія трапецыі. Віды трапецыі. Трапецыя - гэта ..

Трапецыя - гэта прыватны выпадак чатырохвугольніка, у якога адна пара бакоў з'яўляецца паралельнай. Тэрмін «трапецыя» адбыўся ад грэцкага слова τράπεζα, які азначае "стол", "столік". У гэтым артыкуле мы разгледзім віды трапецыі і яе ўласцівасці. Акрамя таго, разбярэмся, як разлічваць асобныя элементы гэтай геаметрычнай фігуры. Напрыклад, дыяганаль равнобокая трапецыі, сярэднюю лінію, плошчу і інш. Матэрыял выкладзены ў стылі элементарнай папулярнай геаметрыі, т. Е. У лёгкадаступнай форме.

Агульныя звесткі

Для пачатку давайце разбярэмся, што такое чатырохкутнік. Дадзеная фігура з'яўляецца прыватным выпадкам шматкутніка, які змяшчае чатыры бакі і чатыры вяршыні. Дзве вяршыні чатырохвугольніка, якія не зьяўляюцца суседнімі, называюцца процілеглымі. Тое ж можна сказаць і пра двух несумежных баках. Асноўныя віды чатырохвугольнікаў - гэта паралелаграм, прастакутнік, ромб, квадрат, трапецыя і дельтоид.

Такім чынам, вернемся да трапецыі. Як мы ўжо казалі, у гэтай фігуры два бакі з'яўляюцца паралельнымі. Іх называюць падставамі. Дзве іншыя (непараллельность) - бакавіцы. У матэрыялах экзаменаў і розных кантрольных работ вельмі часта можна сустрэць задачы, звязаныя з трапецый, рашэнне якіх часцяком патрабуе ад навучэнца ведаў, якiя не прадугледжаны праграмай. Школьны курс геаметрыі знаёміць вучняў са ўласцівасцямі кутоў і дыяганаляў, а таксама сярэдняй лініі роўнабаковы трапецыі. Але ж, акрамя гэтага, згаданая геаметрычная фігура мае і іншыя асаблівасці. Але пра іх крыху пазней ...

віды трапецыі

Існуе шмат відаў дадзенай фігуры. Аднак часцей за ўсё прынята разглядаць два з іх - роўнабаковы і прастакутную.

1. Прастакутная трапецыя - гэта фігура, у якой адна з бакавых бакоў перпендыкулярная падставах. У яе два кута заўсёды роўныя дзевяноста градусам.

2. роўнабаковы трапецыя - гэта геаметрычная фігура, у якой бакавіцы роўныя паміж сабой. А значыць, і куты ў падстаў таксама парамі роўныя.

Галоўныя прынцыпы методыкі вывучэння уласцівасцяў трапецыі

Да асноўнага прынцыпу можна аднесці выкарыстанне так званага задачного падыходу. Па сутнасці, няма неабходнасці для ўводу ў тэарэтычны курс геаметрыі новых уласцівасцяў гэтай фігуры. Іх можна адкрываць і фармуляваць ў працэсе вырашэння розных задач (лепш сістэмных). Пры гэтым вельмі важна, каб выкладчык ведаў, якія заданні неабходна паставіць перад школьнікамі ў той ці іншы момант навучальнага працэсу. Больш за тое, кожнае ўласцівасць трапецыі можа быць прадстаўлена ў выглядзе ключавой задачы ў сістэме задач.

Другім прынцыпам з'яўляецца так званая спіральная арганізацыя вывучэння «выдатных» уласцівасцяў трапецыі. Гэта мае на ўвазе вяртанне ў працэсе навучання да асобных прыкметах дадзенай геаметрычнай фігуры. Такім чынам, навучэнцам лягчэй іх запамінаць. Напрыклад, ўласцівасць чатырох кропак. Яго можна даказваць як пры вывучэнні падабенства, так і пасля з дапамогай вектараў. А роўнавялікіх трыкутнікаў, прылеглых да бакавых баках фігуры, можна даказваць, ужываючы не толькі ўласцівасці трыкутнікаў з роўнымі вышынямі, праведзенымі да бакоў, якія ляжаць на адной прамой, але і з дапамогай формулы S = 1/2 (ab * sinα). Акрамя таго, можна адпрацаваць тэарэму сінусаў на упісанай трапецыі або прастакутны трыкутнік на апісанай трапецыі і т. Д.

Прымяненне «внепрограммных» асаблівасцяў геаметрычнай фігуры ў змесце школьнага курса - гэта задачная тэхналогія іх выкладання. Сталы зварот да вывучаемых уласцівасцях пры праходжанні іншых тэм дазваляе навучэнцам глыбей пазнаваць трапецыю і забяспечвае паспяховасць рашэння пастаўленых задач. Такім чынам, прыступім да вывучэння гэтай выдатнай фігуры.

Элементы і ўласцівасці роўнабаковага трапецыі

Як мы ўжо адзначалі, у дадзенай геаметрычнай фігуры бакавіцы роўныя. Яшчэ яна вядомая як правільная трапецыя. А чым жа яна так характэрная і чаму атрымала такую назву? Да асаблівасцяў дадзенай фігуры адносіцца тое, у яе роўныя не толькі бакавіцы і куты ў падстаў, але і дыяганалі. Акрамя таго, сума вуглоў роўнабаковы трапецыі роўная 360 градусам. Але і гэта яшчэ не ўсё! З усіх вядомых трапецыі толькі вакол роўнабаковы можна апісаць акружнасць. Гэта звязана з тым, што сума процілеглых кутоў у гэтай фігуры роўная 180 градусам, а толькі пры такой умове можна апісаць акружнасць вакол чатырохвугольніка. Наступным уласцівасцю разгляданай геаметрычнай фігуры з'яўляецца тое, што адлегласць ад вяршыні падставы да праекцыі процілеглага вяршыні на прамую, якая ўтрымлівае гэты падстава, будзе роўна сярэдняй лініі.

А зараз давайце разбярэмся, як знайсці куты роўнабаковы трапецыі. Разгледзім варыянт вырашэння гэтай задачы пры ўмове, што вядомыя памеры бакоў фігуры.

рашэнне

Звычайна чатырохкутнік прынята пазначаць літарамі А, Б, С, Д, дзе БС і ПЕКЛА - гэта падставы. У роўнабаковы трапецыі бакавыя боку роўныя. Будзем лічыць, што іх памер роўны Х, а памеры падстаў роўныя Y і Z (меншага і большага адпаведна). Для правядзення вылічэнні неабходна з кута У правесці вышыню Н. У выніку атрымаўся прастакутны трыкутнік АБН, дзе АБ - гіпатэнуза, а БН і АН - катэты. Вылічаем памер катэта АН: ад большай падставы адымаем меншае, і вынік дзелім на 2. Запішам у выглядзе формулы: (ZY) / 2 = F. Зараз для вылічэнні вострага вугла трохвугольніка скарыстаемся функцыяй cos. Атрымліваем наступную запіс: cos (β) = Х / F. Цяпер вылічаем кут: β = arcos (Х / F). Далей, ведаючы адзін кут, мы можам вызначыць і другі, для гэтага вырабляем элементарнае арыфметычнае дзеянне: 180 - β. Усе куты вызначаны.

Існуе і другое рашэнне дадзенай задачы. У пачатку апускаем з кута У вышыню Н. Вылічаем значэнне катэта БН. Нам вядома, што квадрат гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка роўны суме квадратаў катэт. Атрымліваем: БН = √ (Х2- F2). Далей выкарыстоўваем трыганаметрычныя функцыі tg. У выніку маем: β = arctg (БН / F). Востры кут знойдзены. Далей вызначаем тупы кут аналагічна першым спосабе.

Ўласцівасць дыяганаляў роўнабаковы трапецыі

Спачатку запішам чатыры правілы. Калі дыяганалі ў роўнабаковы трапецыі перпендыкулярныя, то:

- вышыня фігуры будзе роўная суме падстаў, дзеленай на два;

- яе вышыня і сярэдняя лінія роўныя;

- плошча трапецыі будзе роўная квадрату вышыні (сярэдняй лініі, полусумме асноў);

- квадрат дыяганалі роўны палове квадрата сумы падстаў альбо падвоенаму квадрату сярэдняй лініі (вышыні).

Зараз разгледзім формулы, якія вызначаюць дыяганаль равнобокая трапецыі. Гэты блок інфармацыі можна ўмоўна падзяліць на чатыры часткі:

1. Формула даўжыні дыяганалі праз яе боку.

Прымаем, што А - ніжняя аснова, Б - верхняе, С - роўныя бакавіцы, Д - дыяганаль. У такім выпадку даўжыню можна вызначыць наступным чынам:

Д = √ (С2 + А * Б).

2. Формулы даўжыні дыяганалі па тэарэме косінус.

Прымаем, што А - ніжняя аснова, Б - верхняе, С - роўныя бакавіцы, Д - дыяганаль, α (у ніжняй падставы) і β (у верхняга падставы) - куты трапецыі. Атрымліваем наступныя формулы, з дапамогай якіх можна вылічыць даўжыню дыяганалі:

- Д = √ (А2 + С2-2А * З * cosα);

- Д = √ (А2 + С2-2А * З * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * З * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * З * cosα).

3. Формулы даўжыні дыяганаляў роўнабаковы трапецыі.

Прымаем, што А - ніжняя аснова, Б - верхняе, Д - дыяганаль, М - сярэдняя лінія, Н - вышыня, П - плошча трапецыі, α і β - куты паміж дыяганалямі. Вызначаем даўжыню па наступных формулах:

- Д = √ (М2 + Н2);

- Д = √ (Н2 + (А + Б) 2/4);

- Д = √ (Н (А + Б) / sinα) = √ (2П / sinα) = √ (2М * Н / sinα).

Для дадзенага выпадку справядліва роўнасць: sinα = sinβ.

4. Формулы даўжыні дыяганалі праз бакі і вышыню.

Прымаем, што А - ніжняя аснова, Б - верхняе, С - бакавіцы, Д - дыяганаль, Н - вышыня, α - кут пры ніжнім падставе.

Вызначаем даўжыню па наступных формулах:

- Д = √ (Н2 + (А-Р * ctgα) 2);

- Д = √ (Н2 + (В + Р * ctgα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (С2-Н2)).

Элементы і ўласцівасці прамавугольнай трапецыі

Давайце разгледзім, чым жа цікавая дадзеная геаметрычная фігура. Як мы ўжо казалі, у прамавугольнай трапецыі два прамых кута.

Акрамя класічнага вызначэння, існуюць і іншыя. Напрыклад, прастакутная трапецыя - гэта трапецыя, у якой адзін бок перпендыкулярная падставах. Або фігура, якая мае пры бакавіцы прамыя куты. У дадзенага выгляду трапецыі вышыня роўная бакавіцы, якая перпендыкулярная падставах. Сярэдняя лінія - гэта адрэзак, які злучае сярэдзіны двух бакавых бакоў. Ўласцівасць згаданага элемента заключаецца ў тым, што ён паралеляў падставах і роўны палове іх сумы.

Зараз давайце разгледзім асноўныя формулы, якія вызначаюць гэтую геаметрычную фігуру. Для гэтага прымаем, што А і Б - падставы; С (перпендыкулярная падставах) і Д - бакі прамавугольнай трапецыі, М - сярэдняя лінія, α - востры кут, П - плошча.

1. Бакавая бок, перпендыкулярная падставах, роўная вышыні фігуры (З = Н), і роўная твору даўжыні другой збоку Д і сінуса кута α пры большым падставе (З = Д * sinα). Акрамя таго, яна роўная твору тангенса вострага вугла α і рознасці падстаў: З = (А-Б) * tgα.

2. Бакавая бок Д (не перпендыкулярная падставах) роўная прыватнаму рознасці А і Б і косінуса (α) вострага вугла альбо прыватнаму вышыні фігуры Н і сінуса вострага вугла: Д = (А-Б) / cos α = З / sinα.

3. Бакавая бок, якая перпендыкулярная падставах, роўная квадратнага пні з рознасці квадрата Д - другі збоку - і квадрата рознасці падстаў:

З = √ (Д2- (А-Б) 2).

4. Бок Д прамавугольнай трапецыі роўная квадратнага пні з сумы квадрата боку С і квадрата рознасці падстаў геаметрычнай фігуры: Д = √ (С2 + (А-Б) 2).

5. Бакавая бок З роўная прыватнаму ад дзялення двайны плошчы на суму яе падстаў: З = П / М = 2П / (А + Б).

6. Плошча вызначаецца творам М (сярэдняя лінія прамавугольнай трапецыі) на вышыню ці бакавіцу, перпендыкулярную падставах: П = М * Н = М * С.

7. Бок З роўная прыватнаму ад дзялення падвоенай плошчы фігуры на твор сінуса вострага вугла і сумы яе падстаў: З = П / М * sinα = 2П / ((А + Б) * sinα).

8. Формулы збоку прамавугольнай трапецыі праз яе дыяганалі і кут паміж імі:

- sinα = sinβ;

- З = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * sinα = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * sinβ,

дзе Д1 і Д2 - дыяганалі трапецыі; α і β - куты паміж імі.

9. Формулы збоку праз кут пры ніжнім падставе і іншыя бакі: Д = (А-Б) / cosα = З / sinα = Н / sinα.

Бо трапецыя з прамым вуглом з'яўляецца прыватным выпадкам трапецыі, то астатнія формулы, якія вызначаюць гэтыя фігуры, будуць адпавядаць і прамавугольнай.

Ўласцівасці упісанай акружнасці

Калі ўмовай сказана, што ў прастакутную трапецыю ўпісана акружнасць, то можна выкарыстоўваць наступныя ўласцівасці:

- сума падстаў роўная суме бакавых бакоў;

- адлегласці ад вяршыні прамавугольнай фігуры да кропак дотыку упісанай акружнасці заўсёды роўныя;

- вышыня трапецыі роўная бакавіцы, перпендыкулярна падставах, і роўная дыяметру акружнасці ;

- цэнтр акружнасці з'яўляецца кропкай, у якой перасякаюцца бісектрысы кутоў ;

- калі бакавыя бок дзеліцца кропкай дотыку на адрэзкі Н і М, тады радыус акружнасці роўны квадратнага пні творы гэтых адрэзкаў;

- чатырохкутнік, які ўтварыўся кропкамі дотыку, вяршыняй трапецыі і цэнтрам упісанай акружнасці - гэта квадрат, у якога бок роўная радыусе;

- плошча фігуры роўная твору падстаў і твору полусуммы падстаў на яе вышыню.

падобныя трапецыі

Дадзеная тэма вельмі зручная для вывучэння уласцівасцяў гэтай геаметрычнай фігуры. Напрыклад, дыяганалі разбіваюць трапецыю на чатыры трыкутніка, прычым прылеглыя да падставах з'яўляюцца падобнымі, а да бакавых баках - роўна вялікімі. Гэта зацвярджэнне можна назваць уласцівасцю трыкутнікаў, на якія разбіта трапецыя яе дыяганалямі. Першая частка гэтага сцвярджэння даказваецца праз прыкмета падабенства па двух кутах. Для доказу другой частцы лепш скарыстацца спосабам, прыведзеных ніжэй.

доказ тэарэмы

Прымаем, што фігура АБСД (ПЕКЛА і БС - асновы трапецыі) разбіваецца дыяганалямі ВД і АС. Кропка іх скрыжавання - О. Атрымліваем чатыры трыкутніка: АОС - у ніжняй падставы, Бос - у верхняга падставы, Або і СОД ў бакавых бакоў. Трыкутнікі СОД і Бос маюць агульную вышыню ў тым выпадку, калі адрэзкі БО і ОД з'яўляюцца іх падставамі. Атрымліваем, што рознасць іх плошчаў (П) роўная рознасці гэтых адрэзкаў: ПБОС / ПСОД = БО / ОД = К. Такім чынам, ПСОД = ПБОС / К. Аналагічна, трыкутнікі Бос і АОБ маюць агульную вышыню. Прымаем за іх падставы адрэзкі СА і ОА. Атрымліваем ПБОС / ПАОБ = СА / ОА = К і ПАОБ = ПБОС / К. З гэтага вынікае, што ПСОД = ПАОБ.

Для замацавання матэрыялу навучэнцам рэкамендуецца знайсці сувязь паміж плошчамі атрыманых трыкутнікаў, на якія разбіта трапецыя яе дыяганалямі, вырашыўшы наступную задачу. Вядома, што ў трыкутнікаў Бос і Аод плошчы роўныя, неабходна знайсці плошчу трапецыі. Бо ПСОД = ПАОБ, значыць, ПАБСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. З падабенства трыкутнікаў Бос і Аод вынікае, што БО / ОД = √ (ПБОС / ПАОД). Такім чынам, ПБОС / ПСОД = БО / ОД = √ (ПБОС / ПАОД). Атрымліваем ПСОД = √ (ПБОС * ПАОД). Тады ПАБСД = ПБОС + ПАОД + 2 * √ (ПБОС * ПАОД) = (√ПБОС + √ПАОД) 2.

ўласцівасці падабенства

Працягваючы развіваць гэтую тэму, можна даказваць і іншыя цікавыя асаблівасці трапецыі. Так, з дапамогай падабенства можна даказаць ўласцівасць адрэзка, які праходзіць праз кропку, адукаваную перасячэннем дыяганаляў гэтай геаметрычнай фігуры, паралельна падставах. Для гэтага вырашым наступную задачу: неабходна знайсці даўжыню адрэзка РК, які праходзіць праз кропку А. З падабенства трыкутнікаў Аод і Бос вынікае, што АТ / АС = ПЕКЛА / БС. З падабенства трыкутнікаў АОР і АСБ вынікае, што АТ / АС = РА / БС = ПЕКЛА / (БС + ПЕКЛА). Адсюль атрымліваем, што РА = БС * ПЕКЛА / (БС + ПЕКЛА). Аналагічна з падабенства трыкутнікаў ДОК і ДБС вынікае, што ОК = БС * ПЕКЛА / (БС + ПЕКЛА). Адсюль атрымліваем, што РА = ОК і РК = 2 * БС * ПЕКЛА / (БС + ПЕКЛА). Адрэзак, які праходзіць праз кропку перасячэння дыяганаляў, паралельны падставах і які злучае дзве бакавыя боку, дзеліцца пунктам перасячэння напалову. Яго даўжыня - гэта сярэдняе гарманічнае падстаў фігуры.

Разгледзім наступнае якасць трапецыі, якое называюць уласцівасцю чатырох кропак. Пункту перасячэння дыяганаляў (О), перасячэння працягу бакавых бакоў (Е), а таксама сярэдзіны падстаў (Т і Ж) заўсёды ляжаць на адной лініі. Гэта лёгка даказваецца метадам падабенства. Атрыманыя трыкутнікі БЕС і АЕД падобныя, і ў кожным з іх медыяны ЕТ і ЕЖ дзеляць кут пры вяршыні Е на роўныя часткі. Такім чынам, кропкі Е, Т і Ж ляжаць на адной прамой. Сапраўды гэтак жа на адной прамой размяшчаюцца пункту Т, О, і Ж. Усё гэта вынікае з падабенства трыкутнікаў Бос і Аод. Адсюль робіцца выснова, што ўсе чатыры кропкі - Е, Т, Аб і Ж - будуць ляжаць на адной прамой.

Выкарыстоўваючы падобныя трапецыі, можна прапанаваць навучэнцам знайсці даўжыню адрэзка (ЛФ), які разбівае фігуру на дзве падобныя. Дадзены адрэзак павінен быць паралеляў падставах. Бо атрыманыя трапецыі АЛФД і ЛБСФ падобныя, то БС / ЛФ = ЛФ / ПЕКЛА. Адсюль вынікае, што ЛФ = √ (БС * ПЕКЛА). Атрымліваем, што адрэзак, разбівае трапецыю на дзве падобныя, мае даўжыню, роўную сярэдняму геаметрычнаму даўжынь падстаў фігуры.

Разгледзім наступнае ўласцівасць падабенства. У яго аснове ляжыць адрэзак, які дзеліць трапецыю на дзве роўнавялікія фігуры. Прымаем, што трапецыя АБСД падзелена адрэзкам ЕН на дзве падобныя. З вяршыні Б апушчана вышыня, якая разбіваецца адрэзкам ЕН на дзве часткі - В1 і В2. Атрымліваем: ПАБСД / 2 = (БС + ЕН) * В1 / 2 = (ПЕКЛА + ЕН) * В2 / 2 і ПАБСД = (БС + ПЕКЛА) * (В1 + В2) / 2. Далей складаем сістэму, першае раўнанне якой (БС + ЕН) * В1 = (ПЕКЛА + ЕН) * В2 і другое (БС + ЕН) * В1 = (БС + ПЕКЛА) * (В1 + В2) / 2. Адсюль вынікае, што В2 / В1 = (БС + ЕН) / (ПЕКЛА + ЕН) і БС + ЕН = ((БС + ПЕКЛА) / 2) * (1 + В2 / В1). Атрымліваем, што даўжыня адрэзка, якія дзеляцца трапецыю на дзве роўнавялікія, роўная сярэдняй квадратычнай даўжынь падстаў: √ ((БС2 + АД2) / 2).

высновы падабенства

Такім чынам, мы даказалі, што:

1. Адрэзак, які злучае ў трапецыі сярэдзіны бакавых бакоў, паралеляў ПЕКЛА і БС і роўны сярэдняму арыфметычным БС і ПЕКЛА (даўжыня падставы трапецыі).

2. Чорта, якая праходзіць праз кропку Аб перасячэння дыяганаляў паралельна ПЕКЛА і БС, будзе роўная сярэдняму гарманічнаму лікаў ПЕКЛА і БС (2 * БС * ПЕКЛА / (БС + ПЕКЛА)).

3. Адрэзак, разбівае трапецыю на падобныя, мае даўжыню сярэдняга геаметрычнага падстаў БС і ПЕКЛА.

4. Элемент, якая дзеліць фігуру на дзве роўнавялікія, мае даўжыню сярэдняга квадратычнага лікаў ПЕКЛА і БС.

Для замацавання матэрыялу і ўсведамлення сувязі паміж разгледжанымі адрэзкамі вучню неабходна пабудаваць іх для канкрэтнай трапецыі. Ён без працы зможа адлюстраваць сярэднюю лінію і адрэзак, які праходзіць праз кропку О - скрыжаванне дыяганаляў фігуры - паралельна падставах. А вось дзе будуць знаходзіцца трэці і чацвёрты? Гэты адказ прывядзе навучэнца да адкрыцця шуканай сувязі паміж сярэднімі велічынямі.

Адрэзак, які злучае сярэдзіны дыяганаляў трапецыі

Разгледзім наступнае ўласцівасць гэтай фігуры. Прымаем, што адрэзак МН паралеляў падставах і дзеліць дыяганалі напалову. Пункту перасячэння назавем Ш і Щ. Дадзены адрэзак будзе роўны полуразности падстаў. Разбяром гэта больш дэталёва. МШ - сярэдняя лінія трохвугольніка АБС, яна роўная БС / 2. МЩ - сярэдняя лінія трохвугольніка Абд, яна роўная ПЕКЛА / 2. Тады атрымліваем, што ШЩ = МЩ-МШ, такім чынам, ШЩ = ПЕКЛА / 2-БС / 2 = (ПЕКЛА + ВС) / 2.

цэнтр цяжару

Давайце разгледзім, якім чынам вызначаецца гэты элемент для дадзенай геаметрычнай фігуры. Для гэтага неабходна падоўжыць заснавання ў супрацьлеглыя бакі. Што гэта значыць? Трэба да верхняга падставы дадаць ніжняе - у любую з бакоў, напрыклад, направа. А ніжняе падаўжаем на даўжыню верхняга налева. Далей злучаем іх дыяганаллю. Кропка перасячэння гэтага адрэзку з сярэдняй лініяй фігуры і ёсць цэнтр цяжару трапецыі.

Ўпісаныя і апісаныя трапецыі

Давайце пералічым асаблівасці такіх фігур:

1. Трапецыя можа быць ўпісана ў акружнасць толькі тым выпадку, калі яна роўнабаковы.

2. Каля акружнасці можна апісаць трапецыю, пры ўмове, што сума даўжынь іх падстаў роўная суме даўжынь бакавых бакоў.

Следства упісанай акружнасці:

1. Вышыня апісанай трапецыі заўсёды роўная двум радыусах.

2. Бакавая бок апісанай трапецыі назіраецца з цэнтра акружнасці пад прамым вуглом.

Першае следства відавочна, а для доказы другога патрабуецца ўсталяваць, што кут СОД з'яўляецца прамым, што, па сутнасці, таксама не складзе вялікай працы. Затое веданне дадзенага ўласцівасці дазволіць пры вырашэнні задач ўжываць прастакутны трыкутнік.

Цяпер канкрэтызуем гэтыя следства для роўнабаковы трапецыі, якая ўпісана ў акружнасць. Атрымліваем, што вышыня з'яўляецца сярэднім геаметрычным падстаў фігуры: Н = 2R = √ (БС * ПЕКЛА). Адпрацоўваючы асноўны прыём рашэння задач для трапецыі (прынцып правядзення двух вышынь), навучэнец павінен вырашыць наступнае заданне. Прымаем, што БТ - вышыня роўнабаковы фігуры АБСД. Неабходна знайсці адрэзкі АТ і гд. Ужываючы формулу, апісаную вышэй, гэта будзе зрабіць не складана.

Зараз давайце разбярэмся, як вызначыць радыус акружнасці, выкарыстоўваючы плошчу апісанай трапецыі. Апускаем з вяршыні Б вышыню на падставу ПЕКЛА. Так як акружнасць ўпісана ў трапецыю, то БС + ПЕКЛА = 2АБ або АБ = (БС + ПЕКЛА) / 2. З трыкутніка АБН знаходзім sinα = БН / АБ = 2 * БН / (БС + ПЕКЛА). ПАБСД = (БС + ПЕКЛА) * БН / 2, БН = 2R. Атрымліваем ПАБСД = (БС + ПЕКЛА) * R, адсюль вынікае, што R = ПАБСД / (БС + ПЕКЛА).

.

Усе формулы сярэдняй лініі трапецыі

Цяпер пара перайсці да апошняга элемента дадзенай геаметрычнай фігуры. Разбярэмся, чаму роўная сярэдняя лінія трапецыі (М):

1. Праз падставы: М = (А + Б) / 2.

2. Праз вышыню, падстава і куты:

• М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

• М = Б + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Праз вышыню, дыяганалі і кут паміж імі. Да прыкладу, Д1 і Д2 - дыяганалі трапецыі; α, β - куты паміж імі:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Праз плошчу і вышыню: М = П / Н.