Плошчу трапецыі

Слова трапецыя выкарыстоўваецца ў геаметрыі для абазначэння чатырохвугольніка, які характарызуецца пэўнымі ўласцівасцямі. Акрамя таго, яно мае яшчэ некалькі значэнняў. У архітэктуры выкарыстоўваецца для абазначэння сіметрычных дзвярэй, вокнаў і будынкаў, пабудаваных шырокімі ў падставы і звужваюцца да версе (у егіпецкім стылі). У спорце - гэта гімнастычны снарад, у модзе - сукенка, паліто ці іншы від адзення пэўнага крою і фасону.

Само слова «трапецыя» адбылося ад грэцкага, у перакладзе на рускую мову азначае «столік» або «стол, ежа». У эўклідавай геаметрыі так называюць выпуклы чатырохвугольнік, які мае адна пару процілеглых бакоў, якія абавязкова раўналежныя адзін аднаму. Варта ўзгадаць некалькі азначэнняў для таго, каб знайсці плошчу трапецыі. Паралельныя боку гэтага шматкутніка называюцца падставамі, а дзве іншых - бакавымі. Вышынёй трапецыі з'яўляецца адлегласць паміж падставамі. Сярэдняй лініяй прынята лічыць лінію, якая злучае сярэдзіны бакоў бакавых. Усе гэтыя паняцці (падставы, вышыня, сярэдняя лінія і бакавіцы) з'яўляюцца элементамі шматкутніка, які з'яўляецца прыватным выпадкам чатырохвугольніка.

Таму правамоцна зацвярджэнне, што плошча трапецыі можа быць знойдзена па формуле, прызначанай для чатырохвугольніка: S = ½ • (a + ƀ) • ħ. Тут S - гэта плошча, a і ƀ - гэта ніжняя і верхняе снования, ħ - гэта вышыня, апушчаная з кута, што прылягае да верхняга падставы, перпендыкулярна ніжнім падмурку. Гэта значыць S раўняецца палове творы сумы падстаў на вышыню. Напрыклад, калі падставы трапецыі - 6 і 2 мм, а яе вышыня - 15 мм, то яе плошча будзе роўная: S = ½ • (6 + 2) • 15 = 60 мм?.

Выкарыстоўваючы вядомыя ўласцівасці гэтага чатырохкутніка, можна вылічыць плошчу трапецыі. У адным з важных сцвярджэнняў гаворыцца, што сярэдняя лінія (пазначым яе літарай μ, а падставы літарамі a і ƀ) раўняецца палове сумы падстаў, якім яна заўсёды раўналежная. Гэта значыць μ = ½ (a + ƀ). Такім чынам, падстаўляючы ў вядомую формулу вылічэння S чатырохвугольніка, сярэднюю лінію, можна запісаць формулу для разліку ў іншым выглядзе: S = μ • ħ. Для выпадку, калі сярэдняя лінія - 25 см, а вышыня - 15 см, плошча трапецыі роўная: S = 25 • 15 = 375 см ².

Згодна вядомаму ўласцівасці шматкутніка з двума паралельнымі бакамі, якія з'яўляюцца падставай, ўпісаць акружнасць з радыусам r ў яе можна пры ўмове, што сума падстаў будзе абавязкова раўняцца суме яе бакавых бакоў. Калі да таго ж трапецыя з'яўляецца роўнабаковы (гэта значыць, роўныя паміж сабой яе бакавіцы: c = d), а таксама вядомы кут пры падставе α, то можна знайсці, чаму роўная плошчу трапецыі па формуле: S = 4r² / sinα, а для прыватнага выпадку, калі α = 30 °, S = 8r². Напрыклад, калі кут пры адной з падстаў роўны 30 °, і ўпісана акружнасць з радыусам 5 дм, то плошча такога шматкутніка будзе раўняцца: S = 8 • 5² = 200 дм².

Можна таксама знайсці плошчу трапецыі, разбіўшы яе на фігуры, вылічыўшы плошча кожнай і склаўшы гэтыя значэння. Гэта лепш разгледзець для трох магчымых варыянтаў:

1. Бакавіцы і куты пры падставе роўныя. У гэтым выпадку трапецыю прынята называць роўнабаковы.
2. Калі адна бакавая бок утворыць прамыя куты з падставамі, то ёсць перпендыкулярная ім, то такая трапецыя будзе называцца прамавугольнай.
3. Чатырохкутнік, у якога раўналежныя два бакі. У гэтым выпадку паралелаграм можа быць разгледжана, як прыватны выпадак.

Для роўнабаковы трапецыі плошча складаецца з сумы двух аднолькавых плошчаў прастакутных трыкутнікаў S1 = S2 (вышыня іх роўная вышыні трапецыі ħ, а падставы трыкутнікаў палове рознасці падстаў трапецыі ½ [a - ƀ]) і плошчы прамавугольніка S3 (адзін бок яго роўная верхняга падставы ƀ, а іншая - вышыні ħ). З чаго вынікае, што плошча трапецыі S = S1 + S2 + S3 = ¼ (a - ƀ) • ħ + ¼ (a - ƀ) • ħ + (ƀ • ħ) = ½ (a - ƀ) • ħ + (ƀ • ħ). Для прамавугольнай трапецыі плошча складаецца з сумы плошчаў трыкутніка і чатырохкутніка: S = S1 + S3 = ½ (a - ƀ) • ħ + (ƀ • ħ).

Крывалінейная трапецыя ў дадзеным артыкуле не разглядалася, плошча трапецыі у гэтым выпадку вылічаюць з дапамогай інтэгралаў.