Практычнае прымяненне і знаходжанне зваротнай матрыцы

Матрыца - гэта табліца, якая запоўненая пэўным наборам лікаў у вызначаным парадку. Дадзены тэрмін быў уведзены ў абарот выбітным ангельскай навукоўцам-тэарэтыкам Джэймсам Сільвестрам. Ён з'яўляецца адным з заснавальнікаў тэорыі прымянення дадзеных матэматычных элементаў.

На сённяшні дзень яны знайшлі шырокае прымяненне пры правядзенні розных разлікаў, якія пабудаваныя на аснове такога спосабу, як, напрыклад, знаходжанне зваротнай матрыцы ў розных галінах чалавечай дзейнасці. Гэты спосаб грунтуецца на вызначэнні невядомых параметраў сістэмы розных раўнанняў і часта выкарыстоўваецца пры правядзенні эканамічных разлікаў.

Бываюць наступныя прыватныя выпадкі дадзеных матэматычных кампанентаў: маленькая, столбцовая, нулявая, квадратная, дыяганальная, адзінкавая. Маленькая складаецца толькі з аднаго радка элементаў, а столбцовая - з аднаго слупка лікаў. Нулявая - усё яе элементы роўныя 0. У квадратнага такога матэматычнага элемента колькасць слупкоў роўна колькасці радкоў. У сваю чаргу, у дыяганальнай, размешчаныя на галоўнай дыяганалі элементы, выдатныя ад «0», а астатнія ў ёй павінны быць роўныя "0". Адзінкавая - гэта адзін з падвідаў дыяганальнай матрыцы. У яе на галоўнай дыяганалі размешчаны толькі «1».

Прыклады матрыц:

дзе: _A k - гэта агульнае абазначэнне, _a ij - элементы,

(А) -2-га парадку;

(Б) - маленькая;

(У) -3-га парадку;

(Г) - прыклад адзінкавай табліцы 2-га парадку;

Таксама існуе зваротная матрыца, вызначэнне якой заключаецца ў наступным. Пры памнажэньні на першапачатковую табліцу зваротнай атрымліваецца адзінкавая. Распрацавана мноства метадаў, якія забяспечваюць знаходжанне зваротнай матрыцы. Найбольш просты з іх заснаваны на вызначэнні алгебраічных дапаўненняў і вызначальніка (яго таксама часам называюць дэтэрмінанты).

Вызначальнікам матрыцы называецца выраз a ₁₁ a ₂₂ -a ₁₂ a _21, пазначаецца ён наступным чынам: |А|. Прыведзеная формула справядлівая для табліцы адпаведнай другога парадку. Ёсць формулы для вызначальнікаў матрыц больш высокага парадку. Абавязковая ўмова існавання вызначальніка - табліца павінна быць квадратнай. На практыцы гэты элемент дадзенай тэорыі часцей за ўсё выкарыстоўваецца пры такой працэдуры, як знаходжанне зваротнай матрыцы.

Другі важны кампанент, з дапамогай якога можна знайсці значэння яе элементаў, з'яўляецца алгебраічных дадатак. Вылічаецца яно па формуле: _A ij = (- 1) ^{i + j} * _M ij, дзе М - гэта мінор. Па сутнасці - гэта дадатковы вызначальнік, які можна атрымаць шляхам разумовага выдалення радка і слупка, у якіх размешчаны дадзены элемент. Напрыклад, для табліцы, якая адпавядае другому парадку, якая прыведзена раней па тэксце, калі элемент a ₁₁ алгебраічным дадаткам будзе элемент a _22.

Знаходжанне зваротнай матрыцы выконваецца ў 3 этапы. На першым этапе вызначаецца дэтэрмінант. На наступным кроку - усё Алгебраічныя дапаўненні, якія потым запісваюцца ў адпаведнасці са сваімі індэксамі, і атрымліваецца табліца алгебраічных дапаўненняў. На завяршальным этапе атрымліваецца зваротная матрыца, знаходжанне якой заканчваецца перамнажэннем кожнага алгебраічнага дапаўненні на дэтэрмінант.

Найбольш часта матрыцы выкарыстоўваюцца пры правядзенні эканамічных разлікаў. З іх дапамогай можна лёгка і хутка апрацаваць вялікі аб'ём інфармацыі. Пры гэтым канчатковы вынік будзе прадстаўлены ў зручным для ўспрымання выглядзе.

Яшчэ адной сферай чалавечай дзейнасці, у якой матрыцы таксама знайшлі вялікае ўжыванне - гэта мадэляванне 3D-малюнкаў. Падобныя інструменты інтэграваныя ў сучасныя пакеты для рэалізацыі 3D-мадэляў і дазваляюць канструктарам вырабляць хутка і дакладна неабходныя разлікі. Найбольш яркім прадстаўніком такіх сістэм з'яўляецца Компас-3D.

Яшчэ адной праграмай, у якую інтэграваныя інструменты для правядзення падобных разлікаў, з'яўляецца Microsoft Office, а больш канкрэтна - таблічны працэсар Excel.