Ступені лікаў: гісторыя, вызначэнне, асноўныя ўласцівасці

Найпростыя матэматычныя выразы сталі вядомыя людзям яшчэ ў глыбокай старажытнасці. У той жа час пастаянна ішло ўдасканаленне як саміх аперацый, так і іх запісу на тым ці іншым носьбіце.

У прыватнасці, у Старажытным Егіпце, чые навукоўцы ўнеслі прыкметны ўклад як у развіццё элементарнай арыфметыкі, так і ў стварэнне асноў алгебры і геаметрыі, звярнулі ўвагу на тое, што калі адбываецца множанне якога-небудзь колькасці на адно і тое ж лік шмат разоў, то на гэта траціцца велізарная колькасць непатрэбных высілкаў. Больш за тое, такая аперацыя вяла да значных фінансавых выдатках: згодна з дзейнічалі тады устаноўкам на афармленне любых запісаў, кожнай дзеянне з лікам павінна было падрабязна апісвацца. Калі ўзгадаць, што нават самы найпросты папірус каштаваў вельмі вялікую суму грошай, то не варта здзіўляцца тым намаганням, якія егіпцяне прыклалі, каб знайсці выхад з гэтай сітуацыі.

Рашэнне знайшоў знакаміты Диофант Александрыйскі, які прыдумаў спецыяльны матэматычны знак, які стаў паказваць, колькі разоў неабходна памножыць тое ці іншае лік на само сябе. Пасля вядомы французскі матэматык Р. Дэкарт ўдасканаліў напісанне гэтага выказвання, прапанаваўшы пры абазначэнні ступені лікаў проста прыпісваць яе ў правым верхнім куце над асноўным лікам.

Завяршальным акордам у пісьмовым афармленні ступені лікаў стала дзейнасць даволі вядомага Н. Шюке, які ўвёў у навуковы абарот спачатку адмоўную, а затым і нулявую ступень.

Што ж азначае фраза «ўзвесці ступень»? Для пачатку неабходна зразумець, што само па сабе ўзвядзенне ў ступень ўяўляе сабой адну з найважнейшых бінарных матэматычных аперацый, сутнасць якой складаецца ў неаднаразовым памнажэньні колькасьці на само сябе.

У агульным выглядзе дадзеная аперацыя пазначаецца выразам «XY». У гэтым выпадку «X» будзе называцца падставай ступені, а «Y» - яе паказчыкам. У дадзеным выпадку «ўзвесці ў ступень» можна будзе расшыфраваць як «памножыць« X »на само сябе« Y »раз».

Ступені лікаў, як і большасць іншых матэматычных элементаў, валодаюць пэўнымі ўласцівасцямі:

1. Пры ўзвядзенні ў нулявую ступень любога ліку, адрознага ад нуля (як станоўчага, так і адмоўнага) атрымаецца адзінка.

х ^^ 0 = 1

2. Ступені лікаў, дзе паказчыкі маюць адмоўнае значэнне, варта пераўтварыць у выраз з станоўчым паказчыкам

х-а = 1 / х ^ а

3. Для таго каб ажыццявіць множанне лікаў са ступенямі, варта памятаць, што дадзеная аперацыя магчымая толькі ў тым выпадку, калі ў іх аднолькавыя падставы. Пры гэтым множанне лікаў са ступенямі ажыццяўляецца ў адпаведнасці са наступным правілам: падстава застаецца без зменаў, а да паказчыка аднаго дадаецца велічыня паказчыкаў астатніх ступеняў.

x ^ yx ^ z = x ^ y + z

4. У тым выпадку, калі адбываецца дзяленне ступеняў, неабходна прытрымлівацца таго ж правілы, толькі замест сумы ў паказчыку будзе рознасць.

x ^ y / x ^ z = x ^ yz

5. Яшчэ адна найважнейшая ўласцівасць ступеняў звязана з тымі сітуацыямі, калі патрабуецца ўзвесці ў ступень сам паказчык ступені. У гэтым выпадку неабходна перамнажаць абодва гэтыя паказчыка.

(X ^ y) ^ z = x ^ yz

6. У шэрагу выпадкаў ёсць неабходнасць распісаць ступень творы праз ступень лікаў. У гэтым выпадку неабходна мець на ўвазе, што ступень творы вылічаецца ў адпаведнасці вось з гэтым правілам:

(Xyz) ^ a = x ^ ay ^ az ^ a

7. Калі паўстане неабходнасць распісаць ступень прыватнага, то першае, на што варта звярнуць увагу, гэта тое, што падстава назоўніка не можа быць роўна нулю. У астатнім жа неабходна прытрымлівацца наступнай формулы:

(X / y) ^ a = x ^ a / y ^ a

Пэўныя цяжкасці сустракаюцца тады, калі патрабуецца ўзвесці ў ступень падстава, выраз якога менш за нуль. Вынік у гэтым выпадку можа быць як адмоўным, так і станоўчым. Залежаць ён будзе ад паказчыка ступені, а менавіта ад таго, якім лікам - няцотных або цотных - гэты паказчык з'яўляўся.