Тэарэтычныя асновы электратэхнікі: метад вузлавых высілкаў

Метад вузлавых высілкаў - гэта разлік электрычных ланцугоў, у якіх зменнымі з'яўляюцца значэнні высілкаў у вузлах ланцугоў адносна базіснага вузла. Ўраўненні складаюцца на базе першага закона Кірхгофа, што дазваляе скараціць лік раўнанняў сістэмы да значэння k-1, дзе k - лік вузлоў ланцуга. Гэты метад лепш выкарыстоўваць, калі лік галін электрычнай ланцугу больш за два. Метад вузлавых высілкаў знайшоў прымяненне ў кампутарных праграмах мадэлявання электрычных ланцугоў, за кошт прастаты алгарытму фарміравання раўнанняў вузлоў.

Вузлавымі высілкамі называюцца напружання паміж адвольным апорным вузлом (у ім патэнцыял прымаецца роўным нулю) і кожным з вузлоў. На схемах апорны вузел адлюстроўваюць заземленым.

Разгледзім розныя метады разліку электрычных ланцугоў

Сутнасць гэтага метаду, заключаецца ў вырашэнні сістэмы раўнанняў, пры дапамозе якіх вызначаюцца патэнцыялы кожнага вузла схемы ў адносінах з апорным вузлом. Пасля гэтага вырабляецца разлік ланцугоў пры дапамозе закона Ома, то ёсць вызначаюцца значэнні токаў ўсіх галін.

Разлік складаных ланцугоў вырабляецца ў наступнай паслядоўнасці:

1. Складаецца прынцыповая схема, з усімі элементамі.

2. Прызначаецца адвольны апорны вузел. Прычым рэкамендуецца выбіраць такі вузел, у якім сыходзіцца найбольшая колькасць галін.

3. Задаецца адвольнае напрамак токаў ва ўсіх галінах, што і пазначаецца на схеме.

4. Для разліку патэнцыялаў пакінутых вузлоў ў адносінах да абранага апорным вузлу складаецца сістэма раўнанняў.

Роўнасці такой сістэмы будуць мець наступны выгляд:

U1G11 - U2G12 - ... - UsG1s - UnG1n = Σ1EG + Σ1J

-U1G21 + U2G22 - ... - UsG2s - UnG2n = Σ2EG + Σ2J

........................................................................................

U1Gn1 - U2Gn2 - ... - UsGns + UnGnn = ΣnEG + ΣnJ, дзе:

• G - сума праводнасці галін падлучаных да вузла;
• U - значэнне вузлавых высілкаў;
• ΣEG - алгебраічная сума значэнняў твораў ЭРС галін, якія прымыкаюць да вузла, на іх праводнасці. (У тым выпадку, калі ЭРС дзейнічае ў напрамку вузла, тады твору прысвойваецца знак «+», у адваротным выпадку - «-».)

Апісаная вышэй сістэма раўнанняў дазваляе лёгка разлічваць шуканыя значэння вузлавых высілкаў. Яна мае назву - сістэма вузлавых раўнанняў. У тым выпадку, калі складаная электрычная ланцуг складаецца з n-га колькасці вузлоў, неабходна скласці вузлавыя ўраўненні на адзін менш, чым колькасць вузлоў. Улічваючы тое, што ўсе ўраўненні запісаныя на базе першага закона Кірхгофа, то разлічваць ланцуг павінна ўтрымліваць выключна незалежныя крыніцы электрычнага току. У тым выпадку, калі схема змяшчае крыніцы напружання, іх неабходна замяняць на эквівалентныя крыніцы току. Акрамя таго, вузлавыя ўраўненні магчыма запісаць у матрычнай форме.

5. Сістэма раўнанняў вырашаецца адносна вузлавых высілкаў, вызначаючы іх значэння.

6. Пасля гэтага для кожнай галіны асобна па законе Ома вылічаюцца усе значэння электрычнага току ў ланцугі.

I = (Ua - Ub + ΣEab) / ΣRab, дзе:

• I - значэнне току галіны ланцуга;
• Ua - патэнцыял вузла а;
• Ub - патэнцыял вузла b;
• ΣEab - алгебраічная сума дадзенай галіне;
• ΣRab - арыфметычная сума супраціваў дадзенай галіне.

Метад вузлавых высілкаў для схем, якія складаюцца з двух вузлоў

Пры разліку электрычных ланцугоў, якія ўтрымліваюць ўсяго два вузла, сістэма раўнанняў будзе складацца з аднаго ўраўненні, з якога магчыма наўпрост вылічыць значэнне вузлавога напружання:

U = (ΣnEnGn + ΣnJn) / ΣmGm, дзе:

• ΣnEnGn - алгебраічная сума значэнняў твораў ЭРС галін на праводнасці гэтых галін;
• ΣnJn - алгебраічная сума значэнняў крыніц току;
• ΣmGm - арыфметычная сума якая праводзіцца ўсіх галін паміж вузламі.

Метад вузлавых высілкаў мае наступныя матэматычныя перавагі: зручнасць вылічэнняў і значнае скарачэнне колькасці арыфметычных аперацый.