Экстрэмуму функцыі - простай мовай аб складаным

Каб зразумець, што такое пункту экстрэмуму функцыі, зусім неабавязкова ведаць аб наяўнасці першай і другой вытворнай і разумець іх фізічны сэнс. Для пачатку трэба ўразумець наступнае:

• экстрэмуму функцыі максімізуе або, наадварот, мінімізуюць значэнне функцыі ў калі заўгодна малой наваколлі;
• у пункце экстрэмуму не павінна быць разрыву функцыі.

А зараз тое ж самае, толькі простым мовай. Паглядзіце на кончык стрыжня шарыкавай ручкі. Калі ручку размясціць вертыкальна, пішучым канцом ўверх, то самая сярэдзіна шарыка будзе экстрэмуму - найвышэйшай кропкай. У гэтым выпадку кажуць аб максімуме. Цяпер, калі павярнуць ручку пішучым канцом уніз, то на сярэдзінцы шарыка ўжо будзе мінімум функцыі. З дапамогай малюнка, прыведзенага тут жа, можна ўявіць пералічаныя маніпуляцыі для канцылярскай алоўка. Такім чынам, экстрэмуму функцыі - гэта заўсёды крытычныя кропкі: яе максімумы ці мінімумы. Прылеглы ўчастак графіка можа быць калі заўгодна вострым або плыўным, але ён павінен існаваць з абодвух бакоў, толькі ў гэтым выпадку кропка з'яўляецца экстрэмуму. Калі графік прысутнічае толькі з аднаго боку, кропка гэтая экстрэмуму з'яўляцца не будзе нават у тым выпадку, калі з аднаго яе боку ўмовы экстрэмуму выконваюцца. Цяпер вывучым экстрэмуму функцыі з навуковага пункту гледжання. Каб кропка магла лічыцца экстрэмуму, неабходна і дастаткова, каб:

• першая вытворная была роўная нуля ці не існавала ў кропцы;
• першая вытворная мяняла свой знак у гэтай кропцы.

Ўмова трактуецца некалькі інакш з пункту гледжання вытворных больш высокага парадку: для функцыі, дыферэнцыруемых ў пункце, дастаткова, каб існавала вытворная няцотнай парадку, няроўная нуля, пры тым, што ўсе вытворныя больш ніжэйшага парадку павінны існаваць і быць роўнымі нуля. Гэта максімальна простае тлумачэнне тэарэм з падручнікаў вышэйшай матэматыкі. Але для самых звычайных людзей варта патлумачыць гэты момант прыкладам. За аснову бярэцца звычайная парабалу. Адразу абмовімся, у нулявой кропкі ў яе маецца мінімум. Зусім няшмат матэматыкі:

• першая вытворная (X ^{2) |} = 2X, для нулявой кропкі 2Х = 0;
• другая вытворная (2Х) ^| = 2, для нулявой кропкі 2 = 2.

Такім няхітрым чынам праілюстраваны ўмовы, якія вызначаюць экстрэмуму функцыі і для вытворных першага парадку, і для вытворных вышэйшага парадку. Можна да гэтага дадаць, што другая вытворная як раз з'яўляецца той самай вытворнай няцотнай парадку, няроўнай нуля, пра якую гаварылася крыху вышэй. Калі гаворка заходзіць пра экстрэмуму функцыі дзвюх зменных, то ўмовы павінны выконвацца для абодвух аргументаў. Калі адбываецца абагульненне, то ў ход ідуць прыватныя вытворныя. Гэта значыць неабходна для наяўнасці экстрэмуму ў пункце, каб абодва вытворныя першага парадку былі роўныя нулю, альбо хаця б адна з іх не існавала. Для дастатковасці наяўнасці экстрэмуму даследуецца выраз, якое ўяўляе сабой рознасць творы вытворных другога парадку і квадрата змяшанай вытворнай другога парадку функцыі. Калі гэта выраз больш за нуль, значыць, экстрэмуму мае месца быць, а калі прысутнічае роўнасць нуля, то пытанне застаецца адкрытым, і трэба праводзіць дадатковыя даследаванні.