Асновы матэматычнага аналізу. Як знайсці вытворную?

Вытворнай некаторай функцыі f (x) у канкрэтнай кропцы x0 называюць мяжу суадносінаў прыросту функцыі да прыросце аргументу пры ўмове, што x варта да 0, а мяжа існуе. Вытворную звычайна пазначаюць рыскай, часам з дапамогай пункту альбо праз дыферэнцыял. Нярэдка запіс вытворнымі праз мяжу прыводзіць у зман, бо такое ўяўленне выкарыстоўваецца вельмі рэдка.

Функцыю, якая мае вытворную ў пэўнай кропцы x0, прынята называць дыферэнцыруемых ў такой кропцы. Выкажам здагадку, D1 - мноства кропак, у якіх функцыя f дыферэнцыявана. Паставіўшы ў адпаведнасць кожнаму ліку лік x, якое належыць D f '(x), атрымаем функцыю з вобласцю абазначэння D1. Гэтая функцыя з'яўляецца вытворнай y = f (x). Яе пазначаюць так: f '(x).

Акрамя таго, вытворная шырока выкарыстоўваецца ў фізіцы і тэхніцы. Разгледзім самы просты прыклад. Матэрыяльны пункт рухаецца па каардынатнай прама, пры чым зададзены закон руху, то ёсць каардынатай x гэтага пункту з'яўляецца вядомая функцыя x (t). На працягу інтэрвалу часу ад t0 да t0 + t перасоўванне кропкі раўняецца x (t0 + t) -x (t0) = x, а яе сярэдняя хуткасць v (t) роўная x / t.

Часам характар руху прадстаўлены так, што пры малых адрэзках часу сярэдняя хуткасць не змяняецца, маецца на ўвазе тое, што рух з большай ступенню дакладнасці лічыцца раўнамерным. Ці ж значэнне сярэдняй хуткасці, калі t0 варта да некаторага абсалютна дакладнаму значэнні, якое і называюць маментальнай хуткасцю v (t0) гэтага пункту ў пэўны момант часу t0. Лічыцца, што імгненная хуткасць v (t) вядомая для любой дыферэнцыраванай функцыі x (t), пры чым v (t) будзе роўна x '(t). Прасцей кажучы, хуткасць - гэта вытворная ад каардынаты па часе.

Імгненная хуткасць мае і станоўчыя, і адмоўныя значэння, а таксама значэнне 0. Калі ж яна на некаторай інтэрвале часу (t1; t2) станоўчая, тады кропка рухаецца ў такім жа кірунку, гэта значыць каардыната x (t) павялічваецца з часам, а калі v (t) адмоўная, тады каардыната x (t) памяншаецца.

У больш складаных выпадках кропка рухаецца ў плоскасці або ў прасторы. Тады хуткасць - вектарная велічыня і вызначае кожную з каардынатаў вектара v (t).

Аналагічна можна супаставіць з паскарэннем руху кропкі. Хуткасць з'яўляецца функцыяй ад часу, то ёсць v = v (t). А вытворная такой функцыі - паскарэннем руху: a = v '(t). Гэта значыць, атрымліваецца, што вытворная ад хуткасці па часе з'яўляецца паскарэннем.

Выкажам здагадку y = f (x) - любая дыферэнцыраваная функцыя. Тады можна разгледзець рух матэрыяльнай кропкі па каардынатнай прамой, якое адбываецца за законам x = f (t). Механічны ўтрыманне вытворнай дае магчымасць прадставіць наглядную інтэрпрэтацыю тэарэм дыферэнцыяльнага вылічэння.

Як знайсці вытворную? Знаходжанне вытворнай некаторай функцыі называецца яе дыферэнцыявання.

Навядзем прыклады таго, як знайсці вытворную функцыю:

Вытворная пастаяннай функцыі роўная нулю; вытворная функцыі y = x роўная адзінцы.

А як знайсці вытворную дробу? Для гэтага разгледзім наступны матэрыял:

Пры любым x0 <> 0 будзем мець

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Існуе некалькі правіл, як знайсці вытворную. А менавіта:

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў кропцы x0, то іх сума дыферэнцыраваны ў кропцы: (A + B) '= A' + B '. Прасцей кажучы, вытворная сумы роўная суме вытворных. Калі функцыя дыферэнцыраваны ў некаторай кропцы, тады яе прырост варта да нуля пры накіраванні да нуля прыросту аргументу.

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў кропцы x0, то іх твор дыферэнцыравана ў кропцы: (A * B) '= A'B + AB'. (Значэнні функцый і іх вытворных разлічваюцца ў кропцы x0). Калі функцыя A (x) дыферэнцыраваны ў кропцы x0, а З - пастаянная, тады функцыя CA дыферэнцыраваны ў гэтай кропцы і (CA) '= CA'. Гэта значыць, такі пастаянны множнік выносіцца за знак вытворнай.

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў кропцы x0, і функцыя B не роўная нулю, то іх суадносіны гэтак жа дыферэнцыравана ў кропцы: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.