Як знайсці плошчу чатырохвугольніка?

Калі на плоскасці паслядоўна накрэсліць некалькі адрэзкаў так, каб кожны наступны пачынаўся ў тым месцы, дзе скончыўся папярэдні, то атрымаецца ламаная лінія. Гэтыя адрэзкі называюць звёнамі, а месца іх перасячэння - вяршынямі. Калі канец апошняга адрэзка перасячэцца з пачатковай кропкай першага, то атрымаецца замкнёная ламаная лінія, якая дзеліць плоскасць на дзве часткі. Адна з іх з'яўляецца канчатковай, а другая бясконцай.

Простая замкнёная лінія разам з складзенай у ёй часткай плоскасці (той, якая канчатковая) называюць шматкутнікаў. Адрэзкі з'яўляюцца бакамі, а адукаваныя імі куты - вяршынямі. Колькасць бакоў любога шматкутніка роўна ліку яго вяршыняў. Фігура, якая мае тры бакі, называецца трохвугольнікам, а чатыры - чатырохкутнікам. Шматкутнік колькасна характарызуецца такой велічынёй, як плошча, якая паказвае памер фігуры. Як знайсці плошчу чатырохвугольніка? Гэтаму вучыць раздзел матэматыкі - геаметрыя.

Каб знайсці плошчу чатырохвугольніка, трэба ведаць да якога тыпу ён ставіцца - выпуклым або нявыпуклы? Выпуклы шматкутнік ўвесь ляжыць адносна прамой (а яна абавязкова ўтрымлівае якую-небудзь з яго бакоў) па адзін бок. Акрамя таго, ёсць і такія віды чатырохвугольнікаў, як паралелаграм з парамі роўнымі і паралельнымі супрацьлеглымі бакамі (разнавіднасці яго: прастакутнік з прамымі кутамі, ромб з роўнымі бакамі, квадрат з усімі прамымі кутамі і чатырма роўнымі бакамі), трапецыя з двума паралельнымі супрацьлеглымі бакамі і дельтоид з двума парамі сумежных бакоў, якія роўныя.

Плошчы любога шматкутніка знаходзяць, ужываючы агульны метад, які заключаецца ў тым, каб разбіць яго на трыкутнікі, для кожнага вылічыць плошчу адвольнага трыкутніка і скласці атрыманыя вынікі. Любы выпуклы чатырохвугольнік дзеліцца на два трыкутніка, нявыпуклы - на два ці тры трыкутніка, плошча яго ў гэтым выпадку можа складацца з сумы і рознасці вынікаў. Плошчу любога трыкутніка вылічаюць як палову творы падставы (a) на вышыню (ħ), праведзеную да падставы. Формула, якая ўжываецца ў гэтым выпадку для вылічэнні, запісваецца як: S = ½ • a • ħ.

Як знайсці плошчу чатырохвугольніка, напрыклад, паралелаграма? Трэба ведаць даўжыню падставы (a), даўжыню збоку (ƀ) і знайсці сінус кута α, адукаванага падставай і бакавіцай (sinα), формула для разліку будзе выглядаць: S = a • ƀ • sinα. Так як сінус кута α ёсць твор падставы паралелаграма на яго вышыню (ħ = ƀ) - лінію перпендыкулярная падставы, то яго плошча вылічаюць, памножыўшы на вышыню яго падстава: S = a • ħ. Для разліку плошчы ромба і прамавугольніка таксама падыходзіць гэтая формула. Так як у прастакутніка бакавыя бок ƀ супадае з вышынёй ħ, то яго плошча вылічаюць па формуле S = a • ƀ. Плошчу квадрата, таму што a = ƀ, будзе раўняцца квадрату яго боку: S = a • a = a². Плошчу трапецыі вылічаецца як палова сумы яго бакоў, памножаная на вышыню (яна праводзіцца да падставы трапецыі перпендыкулярна): S = ½ • (a + ƀ) • ħ.

Як знайсці плошчу чатырохвугольніка, калі невядомыя даўжыні яго бакоў, але вядомыя яго дыяганалі (e) і (f), а таксама сінус кута α? У гэтым выпадак плошчу вылічаюць, як палову творы яго дыяганаляў (лініі, якія злучаюць вяршыні шматкутніка), памножанае на сінус кута α. Формула можа быць запісана ў такім выглядзе: S = ½ • (e • f) • sinα. У прыватнасці плошчу ромба ў гэтым выпадку будзе раўняцца палове творы дыяганаляў (лініі, якія злучаюць супрацьлеглыя куты ромба): S = ½ • (e • f).

Як знайсці плошчу чатырохвугольніка, які не з'яўляецца паралелаграм або трапецыяй, яго звычайна прынята называць адвольны чатырохкутнік. Плошча такой фігуры выказваюць праз яго полупериметр (Ρ - сума двух бакоў з агульнай вяршыняй), бакі a, ƀ, c, d і суму двух процілеглых кутоў (α + β): S = √ [(Ρ - a) • (Ρ - ƀ) • (Ρ - c) • (Ρ - d) - a • ƀ • c • d • cos² ½ (α + β)].

Калі чатырохкутнік ўпісаны ў акружнасць, а φ = 180о, то для разліку яго плошчы выкарыстоўваюць формулу Брахмагупты (індыйскі астраном і матэматык, які жыў у 6-7 стагоддзях нашай эры): S = √ [(Ρ - a) • (Ρ - ƀ) • (Ρ - c) • (Ρ - d)]. Калі чатырохкутнік апісаны акружнасцю, то (a + c = ƀ + d), а яго плошча вылічаюць: S = √ [a • ƀ • c • d] • sin ½ (α + β). Калі чатырохкутнік адначасова з'яўляецца апісаным адной акружнасцю і упісаным у іншую акружнасць, то для вылічэння плошчы выкарыстоўваюць наступную формулу: S = √ [a • ƀ • c • d].