Дзесятковая сістэма злічэння: падстава, прыклады і пераклад у іншыя сістэмы злічэння

З таго моманту, як чалавек упершыню ўсвядоміў сябе аўтаномным аб'ектам у свеце, кінуў вачыма навокал, перапыніўшы замкнёнае кола бяздумнага выжывання, ён пачаў вывучаць. Глядзеў, параўноўваў, лічыў, рабіў высновы. Менавіта на гэтых, здавалася б, элементарных дзеяннях, якія зараз пад сілу і дзіцяці, пачалі грунтавацца сучасныя навукі.

З чым працаваць будзем?

Для пачатку неабходна вызначыцца з тым, што наогул уяўляе сабой сістэма злічэння. Гэта ўмоўны прынцып запісу лікаў, іх навочнае паданне, якое спрашчае працэс пазнання. Самі па сабе колькасці не існуюць (хай даруе нам Піфагор, які лічыў лік асновай светабудовы). Гэта проста абстрактны аб'ект, што мае фізічнае абгрунтаванне толькі пры вылічэннях, своеасаблівае мерка. Лічбы - аб'екты, з якіх лік складаецца.

пачатак

Першы свядомы кошт насіў самы прымітыўны характар. Цяпер яго прынята называць непозиционной сістэмай злічэння. На практыцы яна ўяўляе сабой лік, у якіх пазіцыя складнікаў яго элементаў няважная. Узяць, да прыкладу, звычайныя рысачкі, кожная з якіх адпавядае вызначанага аб'екта: тры чалавекі эквівалентныя |||. Як ні круці, тры рысачкі - гэта ўсё тыя ж тры рысачкі. Калі браць бліжэйшыя прыклады, то старажытныя наўгародцы карысталіся пры ліку славянскім алфавітам. Пры неабходнасці выдзялення менавіта колькасці над літарай проста прастаўлялі знак ~. Таксама літарная сістэма злічэння была ў пашане ў старажытных рымлян, дзе лікі - гэта зноў жа літары, але належаць ўжо лацінскаму алфавіце.

У сілу адасобленасці старажытных дзяржаў, кожная з іх развівала навуку самастойна, хто ў што горазд. Характэрны той факт, што альтэрнатыўная дзесятковая сістэма злічэння была выведзена яшчэ егіпцянамі. Аднак "сваячкай" прывычнага нам паняцці лічыць яе нельга, так як прынцып рахункі адрозніваўся: жыхары Егіпта выкарыстоўвалі лік дзесяць як падстава, аперуючы ступенямі.

З развіццём і ўскладненнем працэсу пазнання свету з'явілася патрэба вылучэння разрадаў. Уявім, што трэба неяк зафіксаваць колькасць арміі дзяржавы, якая вымяраецца тысячамі (у лепшым выпадку). Што ж зараз, бясконца выпісваць палачкі? З-за гэтага шумерскія навукоўцы тых гадоў вылучылі сістэму злічэння, у якой месцазнаходжанне сімвала было абумоўлена яго разрадам. Зноў жа, прыклад: колькасці 789 і 987 маюць адзін і той жа "склад", але, у сілу змены размяшчэння лічбаў, другое істотна больш.

Што гэта такое - дзесятковая сістэма злічэння? абгрунтаванне

Вядома, пазіцыйныя і заканамернасць былі ня адзінымі для ўсіх метадаў падліку. Напрыклад, у Вавілоне базай выступала лік 60, у Грэцыі - алфавітная сістэма (лік складалі літары). Адметна тое, што метад падліку жыхароў Вавілона жывы і па гэты дзень - ён знайшоў сваё месца ў астраноміі.

Аднак прыжылася і распаўсюдзілася тая, у якой падставу сістэмы злічэння - дзясятка, так як прасочваецца адкрытая паралель з пальцамі чалавечых рук. Мяркуйце самі - па чарзе згінаючы пальцы, можна далічыцца ледзь не да бясконцага мноства.

Пачатак гэтай сістэме быў пакладзены ў Індыі, прычым яна з'явілася адразу на базе «10». Фарміраванне назваў лікаў было дваякім - напрыклад, 18 можна было прапісаць словам і як «васемнаццаць», і як «без двух дваццаць». Таксама менавіта індыйскія навукоўцы вывелі такое паняцце, як «нуль», афіцыйна яго з'яўленне зафіксавана ў IX стагоддзі. Менавіта гэты крок стаў асноватворным у фарміраванні класічных пазіцыйных сістэм злічэння, таму што нуль, нягледзячы на тое, што сімвалізуе пустэчу, нішто, здольны падтрымаць разраднасць колькасці, каб яно не страціла свой сэнс. Напрыклад: 100000 і 1. Першае лік ўключае ў сябе 6 лічбаў, першая з якіх - адзінка, а пяць апошніх пазначаюць пустэчу, адсутнасць, а другое лік - проста адзінка. Па логіцы, яны павінны быць роўныя, але на практыцы гэта далёка не так. Нулі на 100000 пазначаюць прысутнасць тых разрадаў, якіх у другім ліку няма. Вось вам і «нішто».

сучаснасць

Дзесятковая сістэма злічэння складаецца з лічбаў ад нуля да дзевяці. Колькасці, складзеныя ў яе рамках, будуюцца па наступным прынцыпе:

крайняя справа лічба пазначае адзінкі, зрушыць на адзін крок налева - атрымаеце дзясяткі, яшчэ крок налева - сотні і гэтак далей. Складана? Нічога падобнага! На самай справе, дзесятковая сістэма прыклады можа даць вельмі навочныя, узяць хоць бы лік 666. Складаецца з трох лічбаў 6, кожная з якіх пазначае свой разрад. Прычым гэтая форма запісу з'яўляецца згорнутай. Калі вы хочаце падкрэсліць, аб якім менавіта ліку ідзе гаворка, то яго можна разгарнуць, надаўшы пісьмовую форму таго, што «прагаворвае» ваш унутраны голас кожны раз, калі вы бачыце лік - «шасьцьсот шэсьцьдзясят шэсьць». Само напісанне ўключае ў сябе ўсе тыя ж адзінкі, дзесяткі і сотні, гэта значыць кожная лічба пазіцыі памнажаецца на пэўную ступень ліку 10. Разгорнутая форма ўяўляе сабой наступнае выраз:

666 ₁₀ = 6х10 ^{2 + 6 * 10 1 + 6} * 10 0 = 600 + 60 + 6 .

актуальныя альтэрнатывы

Другі па папулярнасці пасля дзесятковай сістэмы злічэння з'яўляецца досыць маладая разнавіднасць - двайковая (бінарная). З'явілася яна дзякуючы ўсюдыіснага Лейбніцу, які лічыў, што ў асабліва складаных выпадках у даследаванні тэорыі лікаў бінарнай будзе зручней, чым дзесяцізначны. Сваё паўсюднае распаўсюджванне яна атрымала з развіццём лічбавых тэхналогій, так як мае ў падставе лік 2, і элементы ў ёй складаюцца з лічбаў 1 і 2. Кадаванне інфармацыі адбываецца ў дадзенай сістэме, так як 1 - наяўнасць сігналу, 0 - яго адсутнасць. На падставе гэтага прынцыпу можна паказаць некалькі навочных прыкладаў, якія дэманструюць пераклад у дзесятковую сістэму злічэння.

З цягам часу працэсы, звязаныя з праграмаваннем, ускладняліся, таму ўвялі спосабы запісу лікаў, у якіх у падставе ляжаць 8 і 16. Чаму менавіта яны? Па-першае, колькасць знакаў больш, а значыць, сам лік будзе карацей, па-другое - у іх аснове ляжыць ступень двойкі. Васьмярковы сістэма складаецца з лічбаў 0-7, а шаснаццатковы - з тых жа лічбаў, што і дзесятковая, плюс літары ад A да F.

Прынцыпы і метады перакладу колькасці

Перавесці ў дзесятковую сістэму злічэння проста, дастаткова прытрымлівацца наступнага прынцыпу: зыходнае лік запісваецца як мнагачлена, які складаецца з сум твораў кожнага чысла на аснову "2", узведзеную ў адпаведную разраднасці ступень.

Асноўная формула для вылічэння:

_x2 = y _k 2 ^k-1 + y _k-1 2 ^k-2 + y _k-2 2 ^k-3 + ... + y ₂ 2 ¹ + y ₁ 2 ^0.

прыклады перакладу

Для замацавання разгледзім некалькі выразаў:

101111 ₂ = (1x2 ⁵⁾ + (0x2 ⁴⁾ + (1x2 ³⁾ + (1x2 ²⁾ + (1x2 ¹⁾ + (1x2 ⁰⁾ = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 _10.

Ўскладнілі задачу, бо сістэма ўключае ў сябе пераклад і дробавых лікаў, для гэтага разгледзім асобна цэлую і асобна дробную частку - 111110,11 _2. Такім чынам:

111110,11 ₂ = (1x2 ⁵⁾ + (1x2 ⁴⁾ + (1x2 ³⁾ + (1x2 ²⁾ + (1x2 ¹⁾ + (0x2 ⁰⁾ = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62 _10;

11 ₂ = ₂ ^-1 x1 + 2 ^-2 x1 = 1/2 + 1/4 = 0,75 _10.

У выніку атрымліваем, што 111110,11 ₂ = 62,75 _10.

выснову

Нягледзячы на ўсю «старажытнасць», дзесятковая сістэма злічэння, прыклады якой мы разгледзелі вышэй, усё яшчэ «на кані», і спісваць яе з рахункаў не варта. Менавіта яна становіцца матэматычнай асновай у школе, на яе прыкладзе спазнаюцца законы матэматычнай логікі, выводзіцца ўменне будаваць вывераныя ўзаемасувязі. Ды што ўжо там - практычна ўвесь свет карыстаецца менавіта гэтай сістэмай, якога не бянтэжыла яе неактуальнасцю. Прычына для гэтага адна: яна зручная. У прынцыпе, вывесці аснову рахунку можна любую, ёю пры неабходнасці стане нават яблык, але навошта ўскладняць? Ідэальна выверанае колькасць лічбаў пры неабходнасці і па пальцах пералічыць можна.