Плошчу падставы прызмы: ад трохкутнай да шматкутнай

Розныя прызмы непадобныя адзін на аднаго. У той жа час у іх шмат агульнага. Каб знайсці плошчу падставы прызмы, спатрэбіцца разабрацца ў тым, які выгляд яно мае.

Агульная тэорыя

Прызмай з'яўляецца любой шматграннік, бакавіцы якога маюць выгляд паралелаграма. Пры гэтым у яе падставе можа апынуцца любы шматграннік - ад трыкутніка да n-кутніка. Прычым падставы прызмы заўсёды роўныя адзін аднаму. Што не адносіцца да бакавых гранях - яны могуць істотна адрознівацца па памерах.

Пры вырашэнні задач сустракаецца не толькі плошча падставы прызмы. Можа спатрэбіцца веданне бакавой паверхні, гэта значыць усіх граняў, якія не з'яўляюцца падставай. Поўнай паверхняй ўжо будзе аб'яднанне ўсіх граняў, якія складаюць прызму.

Часам у задачах фігуруе вышыня. Яна з'яўляецца перпендыкуляр да падставах. Дыяганаллю мнагагранніка з'яўляецца адрэзак, які злучае парамі дзве любыя вяршыні, якія не належаць адной грані.

Варта адзначыць, што плошча падставы прамой прызмы або нахільнай не залежыць ад кута паміж імі і бакавымі гранямі. Калі ў іх аднолькавыя фігуры ў верхняй і ніжняй гранях, то іх плошчы будуць роўнымі.

трохкутная прызма

Яна мае ў падставе постаць, якая мае тры вяршыні, то ёсць трохкутнік. Ён, як вядома, бывае розным. Калі трохкутнік прастакутны, то дастаткова ўспомніць, што яго плошча вызначаецца паловай творы катэт.

Матэматычная запіс выглядае так: S = ½ ав.

Каб даведацца плошчу падставы трохкутнай прызмы ў агульным выглядзе, спатрэбяцца формулы: Герона і тая, у якой бярэцца палова боку на вышыню, праведзеную да яе.

Першая формула павінна быць запісана так: S = √ (р (р-а) (р-в) (р-с)). У гэтым запісы прысутнічае полупериметр (р), то ёсць сума трох бакоў, падзеленая на два.

Другая: S = ½ н _а * а.

Калі патрабуецца даведацца плошчу падставы трохкутнай прызмы, якая з'яўляецца правільнай, то трохвугольнік аказваецца роўнабаковага. Для яго існуе свая формула: S = ¼ а ² * √3.

чатырохкутная прызма

Яе падставай з'яўляецца любы з вядомых чатырохвугольнікаў. Гэта можа быць прастакутнік ці квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожным выпадку для таго, каб вылічыць плошчу падставы прызмы, будзе патрэбна свая формула.

Калі падстава - прастакутнік, то яго плошча вызначаецца так: S = ав, дзе а, у - бакі прамавугольніка.

Калі гаворка ідзе пра чатырохкутнай прызме, то плошча падставы правільнай прызмы вылічаецца па формуле для квадрата. Таму што менавіта ён аказваецца які ляжыць у падставе. S = а ^2.

У выпадку калі падстава - гэта паралелепіпед, будзе трэба такое роўнасць: S = а * н _а. Бывае такое, што дадзены бок паралелепіпеда і адзін з кутоў. Тады для вылічэння вышыні спатрэбіцца скарыстацца дадатковай формулай: н _а = ў * sin А. Прычым кут А прылягае да баку "в", а вышыня н _а што насупраць да гэтага кута.

Калі ў падставе прызмы ляжыць ромб, то для вызначэння яго плошчы будзе патрэбна тая ж формула, што для паралелаграма (так як ён з'яўляецца яго прыватным выпадкам). Але можна скарыстацца і такі: S = ½ d ₁ d _2. Тут d ₁ і d ₂ - дзве дыяганалі ромба.

Правільная пяцікутная прызма

Гэты выпадак мяркуе разбіццё шматкутніка на трыкутнікі, плошчы якіх даведацца прасцей. Хоць бывае, што фігуры могуць быць з іншым колькасцю вяршыняў.

Паколькі аснова прызмы - правільны пяцікутнік, то ён можа быць падзелены на пяць роўнабаковага трыкутнікаў. Тады плошча падставы прызмы роўная плошчы аднаго такога трыкутніка (формулу можна паглядзець вышэй), памножанай на пяць.

Правільная шасцікутнай прызма

Па прынцыпе, апісанаму для пяцікутнай прызмы, атрымоўваецца разбіць шасцікутнік падставы на 6 роўнабаковага трыкутнікаў. Формула плошчы падставы такой прызмы падобная папярэдняй. Толькі ў ёй плошчу роўнабаковага трыкутніка варта памнажаць на шэсць.

Выглядаць формула будзе такім чынам: S = 3/2 а ² * √3.

задачы

№ 1. Дана правільная прамая чатырохкутная прызма. Яе дыяганаль роўная 22 см, вышыня мнагагранніка - 14 см. Вылічыць плошчу падставы прызмы і ўсёй паверхні.

Рашэнне. Падставай прызмы з'яўляецца квадрат, але яго бок не вядомая. Знайсці яе значэнне можна з дыяганалі квадрата (х), якая звязаная з дыяганаллю прызмы (d) і яе вышынёй (н). х ² = d ² - н ^2. З іншага боку, гэты адрэзак «х» з'яўляецца гіпатэнузай ў трыкутніку, катэты якога роўныя баку квадрата. Гэта значыць х ² = а ² + а ^2. Такім чынам атрымліваецца, што а ² = (d ² - н ²⁾ / 2.

Падставіць замест d лік 22, а «н» замяніць яго значэннем - 14, то атрымліваецца, што бок квадрата роўная 12 см. Цяпер проста даведацца плошчу падставы: 12 * 12 = 144 см ^2.

Каб даведацца плошчу ўсёй паверхні, трэба скласці падвоенае значэнне плошчы падставы і учетверенную бакавую. Апошнюю лёгка знайсці па формуле для прамавугольніка: перамнажаць вышыню мнагагранніка і бок падставы. Гэта значыць 14 і 12, гэты лік будзе роўна 168 см ^2. Агульная плошча паверхні прызмы аказваецца 960 см ^2.

Адказ. Плошчу падставы прызмы роўная 144 гл ^2. Ўсёй паверхні - 960 см ^2.

№ 2. Дана правільная трохкутная прызма. У падставе ляжыць трохвугольнік са бокам 6 см. Пры гэтым дыяганаль бакавой грані складае 10 см. Вылічыць плошчы: падставы і бакавы паверхні.

Рашэнне. Так як прызма правільная, то яе падставай з'яўляецца роўнабаковага трыкутніка. Таму яго плошча аказваецца роўная 6 у квадраце, памножанай на ¼ і на корань квадратны з 3. Простае вылічэнне прыводзіць да выніку: 9√3 гл ^2. Гэта плошча аднаго падставы прызмы.

Усе бакавыя грані аднолькавыя і ўяўляюць сабой прастакутнікі з бакамі 6 і 10 см. Каб вылічыць іх плошчы, дастаткова перамнажаць гэтыя лікі. Потым памножыць іх на тры, таму што бакавых граняў у прызмы менавіта столькі. Тады плошча бакавой паверхні аказваецца ранай 180 см ^2.

Адказ. Плошчы: падставы - 9√3 гл ^2, бакавой паверхні прызмы - 180 см ^2.