Вывучаем ківач - як знайсці перыяд ваганняў матэматычнага маятніка

Разнастайнасць вагальных працэсаў, якія атачаюць нас, так значна, што проста здзіўляешся - а ёсць што-небудзь, што не вагаецца? Наўрад ці, бо нават зусім нерухомы прадмет, скажам камень, які тысячы гадоў ляжыць нерухома, усё роўна здзяйсняе вагальныя працэсы - ён перыядычна награваецца днём, павялічваючыся, а ўначы астывае і памяншаецца ў памерах. І самы блізкі прыклад - дрэвы і галіны - нястомна вагаюцца усё сваё жыццё. Але тое - камень, дрэва. А калі сапраўды гэтак жа вагаецца ад напору ветру 100 павярховы будынак? Вядома, напрыклад, што вярхушка Астанкінскай тэлевежы асобай туды-сюды на 5-12 метраў, ну чым ня ківач вышынёй 500 м. А наколькі павялічваецца ў памерах падобнае збудаванне ад перападаў тэмператур? Сюды ж можна прылічыць і вібрацыі карпусоў машын і механізмаў. Толькі падумайце, самалёт, у якім вы ляціце, бесперапынна вагаецца. Не раздумаліся лётаць? Не варта, таму што ваганні - гэта сутнасць навакольнага нас свету, ад іх нельга пазбавіцца - іх можна толькі ўлічваць і ўжываць "карысці дзеля".

Як водзіцца, вывучэнне самых складаных абласцей веды (а простымі яны не бываюць) пачынаецца са знаёмства з найпростымі мадэлямі. І няма больш простай і зразумелай для ўспрымання мадэлі вагальнага працэсу, чым ківач. Менавіта тут, у кабінеце фізікі, мы ўпершыню чуем такую загадкавую фразу - "перыяд ваганняў матэматычнага маятніка". Ківач - гэта нітку і груз. І што ж гэта за такі асаблівы ківач - матэматычны? А ўсё вельмі проста, для гэтага ківача мяркуецца, што яго нітка не мае вагі, нерастяжима, а матэрыяльны пункт вагаецца пад дзеяннем сіл цяжару. Справа ў тым, што звычайна, разглядаючы нейкі працэс, напрыклад, ваганні, нельга абсалютна цалкам ўлічыць фізічныя характарыстыкі, напрыклад, вага, пругкасць і г.д. ўсіх удзельнікаў эксперыменту. У той жа час ўплыў некаторых з іх на працэс грэбліва мала. Напрыклад, апрыёры зразумела, што вага і пругкасць ніткі ківача пры пэўных умовах не аказваюць прыкметнага ўплыву на перыяд ваганняў матэматычнага маятніка, як нікчэмна малыя, таму іх уплыў выключаюць з разгляду.

Вызначэнне перыяду ваганняў ківача, ці ледзь не самае простае з вядомых, гучыць так: перыяд - гэта час, за якое здзяйсняецца адно поўнае ваганне. Давайце зробім пазнаку ў адной з крайніх кропак руху грузу. Цяпер кожны раз, калі кропка зачыняецца, робім адлік колькасці поўных ваганняў і Засякаем час, скажам, 100 ваганняў. Вызначыць працягласць аднаго перыяду зусім нескладана. Праробім гэты эксперымент для якое вагаецца ў адной плоскасці ківача ў наступных выпадках:

- розная пачатковая амплітуда;

- розная маса грузу.

Мы атрымаем надзвычайны на першы погляд вынік: ва ўсіх выпадках перыяд ваганняў матэматычнага маятніка застаецца нязменным. Іншымі словамі, пачатковая амплітуда і маса матэрыяльнага пункта на працягласць перыяду ўплыву не аказваюць. Для далейшага выкладу ёсць толькі адно нязручнасць - бо вышыня грузу пры руху змяняецца, то і якая вяртае сіла па траекторыі пераменная, што няёмка для разлікаў. Злёгку схітраваць - качну ківач яшчэ і ў папярочным кірунку - ён пачне апісваць конусападобную паверхню, перыяд Т яго кручэння застанецца ранейшым, хуткасць руху па акружнасці V - пастаянная, даўжыня акружнасці, па якой рухаецца груз S = 2πr, а якая вяртае сіла накіравана па радыусе.

Тады вылічым перыяд ваганняў матэматычнага маятніка:

Т = S / V = 2πr / v

Калі даўжыня ніткі l значна больш памераў грузу (хоць бы ў 15-20 раз), і кут нахілу ніткі невялікі (малыя амплітуды), то можна лічыць, што якая вяртае сіла P роўная цэнтраімклівых сіле F:
Р = F = m * V * V / r

З іншага боку, момант якая вяртае сілы і момант інэрцыі грузу роўныя, і тады

P * l = r * (m * g), адкуль атрымліваем, калі ўлічыць, што P = F, наступнае роўнасць: r * m * g / l = m * v * v / r

Зусім няцяжка знайсці хуткасць ківача: v = r * √g / l.

А цяпер успамінаем самае першае выраз для перыяду і падстаўляем значэнне хуткасці:

Т = 2πr / r * √g / l

Пасля трывіяльных пераўтварэнняў формула перыяду ваганняў матэматычнага маятніка ў канчатковым выглядзе выглядае так:

Т = 2 π √ l / g

Цяпер ужо раней эксперыментальна атрыманыя вынікі незалежнасці перыяду ваганняў ад масы грузу і амплітуды атрымалі сваё пацвярджэнне ў аналітычным выглядзе і зусім не здаюцца такімі "узрушаючымі", як той казаў, што і патрабавалася даказаць.

Акрамя ўсяго іншага, разглядаючы апошняе выраз для перыяду ваганні матэматычнага маятніка, можна бачыць выдатную магчымасць для вымярэння паскарэння сілы цяжару. Для гэтага дастаткова сабраць нейкі эталонны ківач у любым пункце Зямлі і правесці вымярэнне перыяду яго ваганняў. Вось так, зусім нечакана, прасценькі і немудрагелісты ківач падарыў нам выдатную магчымасць даследаванні размеркавання шчыльнасці зямной кары, аж да пошуку пакладаў зямных выкапняў. Але гэта ўжо зусім іншая гісторыя.