Матэматычная матрыца. множанне матрыц

Яшчэ матэматыкі старажытнага Кітая выкарыстоўвалі ў сваіх вылічэннях запіс у выглядзе табліц з вызначаным колькасцю радкоў і слупкоў. Тады падобныя матэматычныя аб'екты называліся як «чароўныя квадраты». Хоць вядомыя і выпадкі выкарыстання табліц у выглядзе трыкутнікаў, якія так і не атрымалі шырокага распаўсюджвання.

На сённяшні дзень пад матэматычнай матрыцай прынята разумець объёкт прамавугольнай формы з зададзеным колькасцю слупкоў і сімвалаў, якія і вызначаюць памеры матрыцы. У матэматыцы такая форма запісу знайшла шырокае ўжыванне для запісу ў кампактна выглядзе сістэм дыферэнцыяльных, а таксама лінейных алгебраічных раўнанняў. Прынята, што колькасць радкоў у матрыцы роўна ліку прысутных у сістэме раўнанняў, колькасці слупкоў адпавядае, колькі невядомых неабходна вызначыць у ходзе рашэння сістэмы.

Акрамя таго, што сама па сабе матрыца ў ходзе яе рашэння прыводзіць да знаходжання невядомых, закладзеных у ўмова сістэмы раўнанняў, існуе шэраг алгебраічных аперацый, якія дапускаецца ажыццяўляць над дадзеным матэматычным аб'ектам. Гэты пералік уключае ў сябе складанне матрыц, якія маюць аднолькавыя памеры. Множанне матрыц з падыходнымі памерамі (можна перамнажаць толькі матрыцу, з аднаго боку мелую колькасць слупкоў, роўнае колькасці радкоў ля матрыцы з другога боку). Таксама дапускаецца памнажаць матрыцу на вектар, або на элемент поля або асноўнага кальца (інакш скаляр).

Разглядаючы множанне матрыц, варта ўважліва сачыць, каб колькасць слупкоў першай строга адпавядала ліку радкоў другі. Інакш дадзенае дзействе над матрыцамі будзе не вызначана. Паводле правіла, па якім ажыццяўляецца множанне матрыцы на матрыцу, кожны элемент у новай матрыцы прыраўноўваецца да сумы твораў адпаведных элементаў з радкоў першай матрыцы на элементы, узятыя з слупкоў іншы.

Для нагляднасці разгледзім прыклад, як адбываецца множанне матрыц. Бярэм матрыцу A

2, 3 Наступ -2

3 4 0

-1 2 -2,

памнажаем яе на матрыцу B

3 -2

1 0

4 -3.

Элемент першага радка першага слупка выніковай матрыцы роўны 2 * 3 + 3 * 1 + (- 2) * 4. Адпаведна, у першым радку ў другім слупку будзе элемент роўны 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), і гэтак далей да запаўнення кожнага элемента новай матрыцы. Правіла множання матрыц мяркуе, што вынікам творы матрыцы з параметрамі mxn на матрыцу, якая мае суадносіны nxk, стане табліца, якая валодае памерамі M х K. Згодна з гэтым правіле, можна зрабіць выснову, што твор так званых квадратных матрыц адпаведна аднаго парадку заўсёды вызначана.

З уласцівасцяў, якімі валодае множанне матрыц, варта вылучыць у якасці аднаго з асноўных тое, што гэтая аперацыя не з'яўляецца коммутативной. Гэта значыць твор матрыцы M на N ня роўна твору N на M. Калі ў квадратных матрыцах аднаго парадку назіраецца, што іх прамое і адваротнае творы заўсёды вызначаны, адрозніваючыся толькі вынікам, то для прастакутных матрыц падобнае ўмова пэўнасці не заўсёды выконваецца.

У множання матрыц існуе шэраг уласцівасцяў, якія маюць выразныя матэматычныя доказы. Асацыятыўнасць множання мае на ўвазе вернасць наступнага матэматычнага выразы: (MN) K = M (NK), дзе M, N, і K - матрыцы, якія маюць параметры, пры якіх множанне вызначана. Дыстрыбутыўнага множання мяркуе, што M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), дзе L - лік.

Следствам з ўласцівасці множання матрыц, названага «асацыятыўнасць», вынікае, што ў творы, які змяшчае ад трох і больш сомножителей, дапускаецца запіс без выкарыстання дужак.

Выкарыстанне ўласцівасці дыстрыбутыўнага дае магчымасць раскрываць дужкі пры разглядзе матрычных выразаў. Звяртаем увагу, калі мы раскрываем дужкі, то трэба захоўваць парадак сомножителей.

Выкарыстанне матрычных выразаў дазваляе не толькі кампактна вырабляць запіс грувасткіх сістэм ураўненняў, але і палягчае працэс іх апрацоўкі і рашэнні.