Мнагаграннікі. Віды шматкантовікаў і іх ўласцівасці

Мнагаграннікі не толькі займаюць бачнае месца ў геаметрыі, але і сустракаюцца ў паўсядзённым жыцці кожнага чалавека. Не кажучы ўжо пра штучна створаных прадметах ўжытку ў выглядзе розных шматкутнікаў, пачынаючы са запалкавай скрынка і заканчваючы архітэктурнымі элементамі, у прыродзе таксама сустракаюцца крышталі ў форме куба (соль), прызмы (хрусталь), піраміды (Шэель), Актаэдр (алмаз) і т . д.

Паняцце мнагагранніка, віды шматкантовікаў ў геаметрыі

Геаметрыя як навука змяшчае раздзел стэрэаметрыю, якая вывучае характарыстыкі і ўласцівасці аб'ёмных фігуры. Геаметрычныя цела, бакі якіх у трохмернай прасторы ўтвораны абмежаванымі плоскасцямі (гранямі), носяць назву "шматграннік". Віды шматкантовікаў налічваюць не адзін дзясятак прадстаўнікоў, якія адрозніваюцца колькасцю і формай граняў.

Тым не менш ва ўсіх шматкантовікаў ёсць агульныя ўласцівасці:

1. Усе яны маюць 3 неад'емных кампаненты: грань (паверхня шматкутніка), вяршыня (куты, якія ўтварыліся ў месцах злучэння граняў), рабро (бок фігуры або адрэзак, адукаваны ў месцы стыку двух граняў).
2. Кожнае рабро шматкутніка злучае дзве, і толькі дзве грані, якія ў адносінах адзін да аднаго з'яўляюцца сумежнымі.
3. Выпукласць азначае, што цела цалкам размешчана толькі па адзін бок плоскасці, на якой ляжыць адна з граняў. Правіла дастасавальна да ўсіх гранях мнагагранніка. Такія геаметрычныя фігуры ў стэрэаметрыі называюць тэрмінам выпуклыя шматграннік. Выключэнне складаюць звёздчатые шматграннік, якія з'яўляюцца вытворнымі правільных шматгранных геаметрычных тэл.

Мнагаграннікі можна ўмоўна падзяліць на:

1. Віды выпуклых шматкантовікаў, якія складаюцца з наступных класаў: звычайныя ці класічныя (прызма, піраміда, паралелепіпед), правільныя (таксама званыя Платонава целамі), полуправильные (другая назва - Архимедовы цела).
2. Нявыпуклы шматграннік (звёздчатые).

Прызма і яе ўласцівасці

Стэрэаметрыю як раздзел геаметрыі вывучае ўласцівасці трохмерных постацяў, віды шматкантовікаў (прызма у іх ліку). Прызмай называюць геаметрычнае цела, якое мае абавязкова дзве зусім аднолькавыя мяжы (іх таксама называюць падставамі), якія ляжаць у паралельных плоскасцях, і n-ай чысло бакавых граняў ў выглядзе паралелаграма. У сваю чаргу, прызма мае таксама некалькі разнавіднасцяў, у ліку якіх такія віды шматкантовікаў, як:

1. Паралелепіпед - утворыцца, калі ў падставе ляжыць паралелаграм - шматкутнік з 2 парамі роўных процілеглых кутоў і двума парамі конгруэнтных процілеглых бакоў.
2. Прамая прызма мае перпендыкулярныя да падставы рэбры.
3. Нахільная прызма характарызуецца наяўнасцю непрамых кутоў (выдатных ад 90) паміж гранямі і падставай.
4. Правільная прызма характарызуецца падставамі ў выглядзе правільнага шматкутніка з роўнымі бакавымі гранямі.

Асноўныя ўласцівасці прызмы:

• Конгруэнтных падставы.
• Усе рэбры прызмы роўныя і раўналежныя ў адносінах адзін да аднаго.
• Усе бакавыя грані маюць форму паралелаграма.

піраміда

Пірамідай называюць геаметрычнае цела, якое складаецца з аднаго падставы і з n-га чысла трохкутных граняў, якія спалучаюцца ў адным пункце - вяршыні. Варта адзначыць, што калі бакавыя грані піраміды прадстаўлены абавязкова трыкутнікамі, то ў падставе можа быць як трохкутны шматкутнік, так і чатырохвугольніка, і пяцікутнік, і так да бясконцасці. Пры гэтым назва піраміды будзе адпавядаць шматкутнік у падставе. Напрыклад, калі ў падставе піраміды ляжыць трохкутнік - гэта трохкутная піраміда, чатырохкутніка - чатырохкутнай, і т. Д.

Піраміды - гэта конусападобнымі шматграннік. Віды шматкантовікаў гэтай групы, акрамя вышэйпералічаных, ўключаюць таксама наступных прадстаўнікоў:

1. Правільная піраміда мае ў падставе правільны шматкутнік, і вышыня яе праектуецца ў цэнтр акружнасці, упісанай ў падмурак або апісанай вакол яго.
2. Прастакутная піраміда утворыцца тады, калі адно з бакавых рэбраў перасякаецца з падставай пад прамым вуглом. У такім выпадку гэта рабро справядліва таксама назваць вышынёй піраміды.

Ўласцівасці піраміды:

• У выпадку, калі усе бакавыя рэбры піраміды конгруэнтных (аднолькавай вышыні), то ўсе яны перасякаюцца з падставай пад адным вуглом, а вакол падставы можна прачарціў акружнасць з цэнтрам, супадальным з праекцыяй вяршыні піраміды.
• Калі ў падставе піраміды ляжыць правільны шматкутнік, то усе бакавыя рэбры конгруэнтных, а грані з'яўляюцца роўнабаковымі трыкутнікамі.

Правільны шматграннік: віды і ўласцівасці шматкантовікаў

У стэрэаметрыі асаблівае месца займаюць геаметрычныя цела з абсалютна роўнымі паміж сабой гранямі, у вяршынях якіх злучаецца аднолькавая колькасць рэбраў. Гэтыя цела атрымалі назву Платонавы цела, або правільныя шматграннік. Віды шматкантовікаў з такімі ўласцівасцямі налічваюць ўсяго пяць фігур:

1. Тэтраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Актаэдр.
4. Додекаэдра.
5. Икосаэдр.

Сваёй назвай правільныя шматграннік абавязаны старажытнагрэцкаму філосафу Платону, апісаць гэтыя геаметрычныя цела ў сваіх працах і звязаць іх з прыроднымі стыхіямі: зямлі, вады, агню, паветра. Пятай постаці прысуджалі падабенства з будынкам Сусвету. На яго думку, атамы прыродных стыхій па форме нагадваюць віды правільных шматкантовікаў. Дзякуючы свайму самому Захапляльныя ўласцівасці - сіметрычна, гэтыя геаметрычныя цела прадстаўлялі вялікую цікавасць не толькі для старажытных матэматыкаў і філосафаў, але і для архітэктараў, мастакоў і скульптараў усіх часоў. Наяўнасць усяго толькі 5 відаў шматкантовікаў з абсалютнай сіметрыяй лічылася фундаментальнай знаходкай, ім нават прысуджалі сувязь з чароўным пачаткам.

Гексаэдр і яго ўласцівасці

У форме шасьцікутніка пераемнікі Платона меркавалі падабенства з будовай атамаў зямлі. Вядома ж, у цяперашні час гэтая гіпотэза цалкам аспрэчаная, што, аднак, не перашкаджае постацям і ў сучаснасці прыцягваць розумы вядомых дзеячаў сваёй эстэтычнасцю.

У геаметрыі гексаэдр, ён жа куб, лічыцца прыватным выпадкам паралелепіпеда, які, у сваю чаргу, з'яўляецца разнавіднасцю прызмы. Адпаведна і ўласцівасці куба звязаны са ўласцівасцямі прызмы з той толькі розніцай, што ўсе грані і куты куба роўныя паміж сабой. З гэтага выцякаюць наступныя ўласцівасці:

1. Усе рэбры куба конгруэнтных і ляжаць у паралельных плоскасцях ў адносінах адзін да аднаго.
2. Усе грані - конгруэнтных квадраты (усяго ў кубе іх 6), кожны з якіх можа быць прыняты за падставу.
3. Усе межгранные куты роўныя 90.
4. З кожнай вяршыні зыходзіць роўнае колькасць рэбраў, а менавіта 3.
5. Куб мае 9 восяў сіметрыі, якія ўсё перасякаюцца ў пункце перасячэння дыяганаляў гексаэдра, названай цэнтрам сіметрыі.

Тэтраэдр

Тэтраэдр - гэта четырёхгранник з роўнымі гранямі ў форме трыкутнікаў, кожная з вяршыняў якіх з'яўляецца кропкай злучэння трох граняў.

Ўласцівасці правільнага тэтраэдра:

1. Усе грані тетраэда - гэта роўнабаковага трыкутніка, з чаго вынікае, што усе грані четырёхгранника конгруэнтных.
2. Так як падстава прадстаўлена правільнай геаметрычнай фігурай, гэта значыць мае роўныя бакі, то і грані тэтраэдра сыходзяцца пад аднолькавым вуглом, то ёсць усе куты роўныя.
3. Сума плоскіх кутоў пры кожнай з вяршыняў раўняецца 180, так як усе куты роўныя, то любы кут правільнага четырёхгранника складае 60.
4. Кожная з вяршыняў праецыюецца ў кропку перасячэння вышынь процілеглага (артацэнтрам) грані.

Актаэдр і яго ўласцівасці

Апісваючы віды правільных шматкантовікаў, нельга не адзначыць такі аб'ект, як актаэдр, які візуальна можна прадставіць у выглядзе двух злепленых падставамі чатырохкутную правільных пірамід.

Ўласцівасці Актаэдр:

1. Сама назва геаметрычнага цела падказвае колькасць яго граняў. Васьмісценнік складаецца з 8 конгруэнтных роўнабаковага трыкутнікаў, у кожнай з вяршыняў якога сыходзіцца роўнае колькасць граняў, а менавіта 4.
2. Так як усе грані Актаэдр роўныя, роўныя і яго межгранные куты, кожны з якіх складае 60, а сума плоскіх кутоў любой з вяршыняў складае, такім чынам, 240.

додекаэдра

Калі ўявіць, што усе грані геаметрычнага цела ўяўляюць сабой правільны пяцікутнік, то атрымаецца додекаэдра - фігура з 12 шматкутнікаў.

Ўласцівасці додекаэдра:

1. У кожнай вяршыні перасякаюцца па тры грані.
2. Усе грані роўныя і маюць аднолькавую даўжыню рэбраў, а таксама роўную плошчу.
3. У додекаэдра 15 восяў і плоскасцей сіметрыі, прычым кожная з іх праходзіць праз вяршыню грані і сярэдзіну супрацьлеглага ёй рэбры.

Икосаэдр

Не менш цікавая, чым додекаэдра, фігура икосаэдр ўяўляе сабой аб'ёмнае геаметрычнае цела з 20 роўнымі гранямі. Сярод уласцівасцяў правільнага двадцатигранника можна адзначыць наступныя:

1. Усе грані икосаэдра - роўнабаковы трыкутнік.
2. У кожнай вяршыні мнагагранніка сыходзіцца пяць граняў, і сума сумежных кутоў вяршыні складае 300.
3. Икосаэдр мае гэтак жа, як і додекаэдра, 15 восяў і плоскасцей сіметрыі, якія праходзяць праз сярэдзіны процілеглых граняў.

Полуправильные шматкутнікі

Акрамя Платонавых целаў, у групу выпуклых шматкантовікаў ўваходзяць таксама Архимедовы цела, якія ўяўляюць сабой ўсечанага правільныя шматграннік. Віды шматкантовікаў дадзенай групы валодаюць наступнымі ўласцівасцямі:

1. Геаметрычныя цела маюць парамі роўныя грані некалькіх тыпаў, напрыклад, ўсечанага Тэтраэдр мае гэтак жа, як і правільны Тэтраэдр, 8 граняў, але ў выпадку Архимедова цела 4 грані будуць трохкутнай формы і 4 - шасцікутнай.
2. Усе куты адной вяршыні конгруэнтных.

Звёздчатые шматграннік

Прадстаўнікі необъёмных відаў геаметрычных тэл - звёздчатые шматграннік, грані якіх перасякаюцца адзін з адным. Яны могуць быць утвораны шляхам зліцця двух правільных трохмерных тэл альбо ў выніку працягу іх граняў.

Такім чынам, вядомыя такія звёздчатые шматграннік, як: звёздчатые формы Актаэдр, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.