Нявызначаны інтэграл. Вылічэнне нявызначаных інтэгралаў

Адным з фундаментальных раздзелаў матэматычнага аналізу з'яўляецца інтэгральнае вылічэнне. Ахоплівае яно вельмі шырокае поле аб'ектаў, дзе першы - гэта нявызначаны інтэграл. Пазіцыянаваць яго варта як ключ, што яшчэ ў сярэдняй школе раскрывае ўсе большая колькасць перспектыў і магчымасцяў, якія апісвае вышэйшая матэматыка.

з'яўленне

На першы погляд інтэграл здаецца дашчэнту сучасным, актуальным, аднак на практыцы аказваецца, што з'явіўся ён яшчэ ў 1800 годзе да нашай эры. Радзімай афіцыйна лічыцца Егіпет, бо да нас не дайшлі больш раннія доказы яго існавання. Яго, у сілу недахопу інфармацыі, увесь гэты час пазіцыянавалі проста як з'ява. Ён лішні раз пацвярджаў ўзровень развіцця навукі ў народаў тых часоў. Нарэшце былі знойдзеныя працы старажытнагрэчаскіх матэматыкаў, якія датуюцца 4 стагоддзем да нашай эры. У іх апісваўся метад, дзе ўжываўся нявызначаны інтэграл, сутнасць якога заключалася ў пошуку аб'ёму або плошчы крывалінейнай фігуры (трохмерныя і двухмерныя плоскасці адпаведна). Прынцып вылічэнні грунтаваўся на дзяленні зыходнай фігуры на бясконца малыя складнікі, пры ўмове што аб'ём (плошча) іх ужо вядомы. З цягам часу метад разросся, Архімед выкарыстаў яго для пошуку плошчы парабалы. Аналагічныя вылічэнні ў той жа час праводзілі навукоўцы і ў Старажытным Кітаі, прычым яны былі зусім незалежныя ад грэчаскіх субратаў па навуцы.

развіццё

Наступным прарывам у XI стагоддзі ўжо нашай эры сталі працы арабскага ученого- »Універсал" Абу Алі аль-Басры, які рассунуў межы ўжо вядомага, вывеўшы на аснове інтэграла формулы для вылічэння сум шэрагаў і сум ступеняў ад першай да чацвёртай, ужываючы для гэтага вядомы нам метад матэматычнай індукцыі.
Розумы сучаснасці захапляюцца тым, як старажытныя егіпцяне стваралі дзіўныя помнікі архітэктуры, не маючы ніякіх асаблівых прыстасаванняў, за выключэннем хіба што сваіх рук, але хіба не з'яўляецца сіла розуму вучоных таго часу не меншым цудам? У параўнанні з цяперашнімі часам іх жыццё здаецца ледзь не першабытнай, аднак рашэнне нявызначаных інтэгралаў выводзілася паўсюдна і выкарыстоўвалася на практыцы для далейшага развіцця.

Чарговы крок адбыўся ў XVI стагоддзі, калі італьянскі матэматык Кавальери вывеў метад непадзельных, які падхапіў П'ер Ферма. Менавіта гэтыя дзве асобы паклалі аснову сучаснаму Інтэгральнае падлік, якое вядома на дадзены момант. Яны звязалі паняцці дыферэнцыявання і інтэгравання, якія раней успрымаліся як аўтаномныя адзінкі. Па вялікім рахунку, матэматыка тых часоў была раздробленая, часціцы высноў існавалі самі па сабе, маючы абмежаваную вобласць прымянення. Шлях аб'яднання і пошуку агульных поглядаў быў адзіным верным на той момант, дзякуючы яму сучасны матэматычны аналіз атрымаў магчымасць расці і развівацца.

З цягам часу мянялася ўсё, і абазначэнне інтэграла ў тым ліку. Па вялікім рахунку, пазначалі яго навукоўцы хто ў што горазд, напрыклад, Ньютан выкарыстаў квадратны значок, у які змяшчаў інтэгруемае функцыю або жа проста ставіў побач. Гэты разнабой працягваўся аж да XVII стагоддзя, калі знакавы для ўсёй тэорыі матэматычнага аналізу навуковец Готфрыд Лейбніц увёў гэтак звыклы нам знак. Выцягнутая "S" сапраўды грунтуецца на гэтай літары лацінскага алфавіту, так як пазначае суму первообразных. Назва ж інтэграл атрымаў дзякуючы Якобу Бярнулі праз 15 гадоў.

фармальнае вызначэнне

Нявызначаны інтэграл напрамую залежыць ад вызначэння первообразной, таму разгледзім яе ў першую чаргу.

Первообразная - гэта функцыя, зваротная вытворнай, на практыцы яе яшчэ называюць прымітыўнай. Інакш: первообразная ад функцыі d - гэта такая функцыя D, вытворная якой роўная v <=> V '= v. Пошук первообразной ёсць вылічэнне нявызначанага інтэграла, а сам гэты працэс называецца інтэграванне.

прыклад:

Функцыя s (y) = y ^3, а яе первообразная S (y) = (y ^4/4).

Мноства ўсіх первообразных разгляданай функцыі - гэта і ёсць нявызначаны інтэграл, пазначаецца ён наступным чынам: ∫v (x) dx.

З-за таго што V (x) - гэта толькі некаторая первообразная зыходнай функцыі, мае месца выраз: ∫v (x) dx = V (x) + C, дзе С - канстанта. Пад адвольнай пастаяннай разумеецца любая канстанта, так як яе вытворная роўная нулю.

ўласцівасці

Ўласцівасці, якімі валодае нявызначаны інтэграл, грунтуюцца на асноўным вызначэнні і ўласцівасцях вытворных.
Разгледзім ключавыя моманты:

• інтэграл з вытворнай первообразной ёсць сама первообразная плюс адвольная канстанта З <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• вытворная ад інтэграла функцыі ёсць зыходная функцыя <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• канстанта выносіцца з пад знака інтэграла <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, дзе k - адвольна;
• інтэграл, які бярэцца ад сумы, тоесна роўны суме інтэгралаў <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

З апошніх двух уласцівасцяў можна зрабіць выснову, што нявызначаны інтэграл з'яўляецца лінейным. Дзякуючы гэтаму маем: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Для замацавання разгледзім прыклады рашэння нявызначаных інтэгралаў.

Неабходна знайсці інтэграл ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

З прыкладу можна зрабіць выснову: ня ведаеце, як вырашаць нявызначаныя інтэгралы? Проста знайдзіце ўсе первообразные! А вось прынцыпы пошуку разгледзім ніжэй.

Метады і прыклады

Для таго каб вырашыць інтэграл, можна звярнуцца да наступных спосабаў:

• скарыстацца гатовай табліцай;
• інтэграваць па частках;
• інтэграваць шляхам замены зменнай;
• падвядзенне пад знак дыферэнцыяла.

табліцы

Самы просты і прыемны спосаб. На дадзены момант матэматычны аналіз можа пахваліцца дастаткова шырокімі табліцамі, у якіх прапісаны асноўныя формулы нявызначаных інтэгралаў. Іншымі словамі, ёсць шаблоны, выведзеныя да вас і для вас, застаецца толькі скарыстацца імі. Вось пералік асноўных таблічных пазіцый, да якіх можна вывесці практычна кожны прыклад, які мае рашэнне:

• ∫0dy = C, дзе С - канстанта;
• ∫dy = y + C, дзе С - канстанта;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, дзе С - канстанта, а n - выдатнае ад адзінкі лік;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, дзе С - канстанта;
• ∫e ^y dy = ^e y + C, дзе С - канстанта;
• ∫k ^y dy = ^(k y / ln k) + C, дзе С - канстанта;
• ∫cosydy = siny + C, дзе С - канстанта;
• ∫sinydy = -cosy + C, дзе С - канстанта;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, дзе С - канстанта;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, дзе С - канстанта;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, дзе С - канстанта;
• ∫chydy = shy + C, дзе С - канстанта;
• ∫shydy = chy + C, дзе С - канстанта.

Пры неабходнасці здзейсніць пару крокаў, прывесці падынтэгральны выраз да таблічнага ўвазе і атрымліваць асалоду ад перамогай. Прыклад: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 х sin (5x - 2) + C.

Па рашэнні відаць, што для таблічнага прыкладу падынтэгральны выраз не хапае множніка 5. Мы дадаем яго, паралельна з гэтым памнажаючы на 1/5 для таго, каб агульны выраз не змянілася.

Інтэграванне па частках

Разгледзім дзве функцыі - z (y) і x (y). Яны павінны быць бесперапынна дыферэнцыруемых на ўсёй вобласці вызначэння. Па адным з уласцівасцяў дыферэнцыявання маем: d (xz) = xdz + zdx. Проинтегрировав абедзве часткі роўнасці, атрымліваем: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Перапісаўшы атрыманае роўнасць, атрымліваем формулу, якая апісвае метад інтэгравання па частках: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Навошта яна патрэбна? Справа ў тым, што некаторыя прыклады ёсць магчымасць спрасціць, умоўна кажучы, звесці ∫zdx да ∫xdz, калі апошні блізкі да таблічнай форме. Таксама дадзеную формулу можна ўжываць не аднойчы, дамагаючыся аптымальнага выніку.

Як вырашаць нявызначаныя інтэгралы дадзеным спосабам:

• неабходна вылічыць ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + 1) e ^2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e ^2s, dy = e ^2x ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• неабходна вылічыць ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s х ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

замена зменнай

Гэты прынцып рашэння нявызначаных інтэгралаў не менш запатрабаваны, чым два папярэднія, хоць і больш складана. Метад заключаецца ў наступным: хай V (x) - інтэграл ад нейкай функцыі v (x). У тым выпадку, калі сам па сабе інтэграл ў прыкладзе трапляецца складаназлучаных, вялікая верагоднасць заблытацца і пайсці па няслушным шляху рашэння. Каб пазбегнуць гэтага практыкуецца пераход ад зменнай x да z, пры якім агульнае выраз візуальна спрашчаецца пры захаванні залежнасці z ад x.

На матэматычным мове гэта выглядае наступным чынам: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y ^-1 (x)), дзе x = y ( z) - падстаноўка. І, вядома ж, зваротная функцыя z = y ^-1 (x) паўнавартасна апісвае залежнасць і ўзаемасувязь зменных. Важная заўвага - дыферэнцыял dx абавязкова замяняецца новым дыферэнцыялам dz, так як замена зменнай ў няпэўным Інтэграле разумее замену яе ўсюды, а не толькі ў подынтегральная выразе.

прыклад:

• неабходна знайсці ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Выкарыстоўваецца і ў дачыненні падстаноўку z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Тады dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. У выніку атрымліваем наступнае выраз, якое вельмі лёгка вылічыць:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• неабходна знайсці інтэграл ^∫2 s e s dx

Для вырашэння перапішам выраз у наступнай форме:

∫2 ^s e ^{s ds} = ∫ (2e) ^{s ds.}

Абазначым праз a = 2e (заменай аргументу дадзены крок не з'яўляецца, гэта ўсё яшчэ s), прыводзім наш, на першы погляд складаны, інтэграл, да элементарнай таблічнай форме:

∫ (2e) ^{s ds} = ∫a ^{s ds} = a ^s / lna + C = (2e) ^s / ln (2e) + C = 2 ^{s e s} / ln (2 + lne) + C = 2 ^{s e s} / (ln2 + 1) + C.

Падвядзенне пад знак дыферэнцыяла

Па вялікім рахунку, дадзены метад нявызначаных інтэгралаў - брат-блізнюк прынцыпу замены зменнай, аднак маюцца адрозненні ў працэсе афармлення. Разгледзім дэталёва.

Калі ∫v (x) dx = V (x) + C і y = z (x), то ∫v (y) dy = V (y) + C.

Пры гэтым нельга забываць трывіяльных інтэгральных пераўтварэнняў, сярод якіх:

• dx = d (x + a), дзе а - любая канстанта;
• dx = (1 / a) d (ax + b), дзе а - зноў жа канстанта, але пры гэтым не роўная нулю;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Калі разглядаць агульны выпадак, калі вылічаем нявызначаны інтэграл, прыклады можна падвесці пад агульную формулу w '(x) dx = dw (x).

прыклады:

• неабходна знайсці ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) х ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) х (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Онлайн-дапамога

У некаторых выпадках, віной якім можа стаць ці лянота, ці вострая неабходнасць, можна скарыстацца онлайн-падказкамі, а дакладней, прымяніць калькулятар нявызначаных інтэгралаў. Нягледзячы на ўсю бачную складанасць і спрэчнасць інтэгралаў, рашэнне іх падпарадкавана вызначаным алгарытме, які будуецца па прынцыпе "калі не ..., то ...".

Вядома, асабліва вычварныя прыклады такой калькулятар не здужае, так як бываюць выпадкі, пры якіх рашэнне даводзіцца знаходзіць штучна, "гвалтоўна" уводзячы тыя ці іншыя элементы ў працэсе, бо відавочнымі шляхамі выніку не дасягнуць. Нягледзячы на ўсю спрэчнасць дадзенага заявы, яно дакладна, так як матэматыка, у прынцыпе, навука абстрактная, і сваёй першараднай задачай лічыць неабходнасць пашырэння межаў магчымасцяў. Сапраўды, па гладкім абкаталі тэорыям вельмі складана рухацца ўверх і развівацца, таму не варта лічыць, што прыклады рашэння нявызначаных інтэгралаў, якія далі мы - гэта вяршыня магчымасцяў. Аднак вернемся да тэхнічнай баку справы. Хоць бы для праверкі вылічэнняў можна скарыстацца сэрвісамі, у якіх усё было прапісана да нас. Калі паўстала патрэба ў аўтаматычным вылічэнні складанага выказвання, то імі не абысціся, прыйдзецца звярнуцца да больш сур'ёзнага праграмным забеспячэнні. Варта звярнуць увагу ў першую чаргу на сераду MatLab.

прымяненне

Рашэнне нявызначаных інтэгралаў на першы погляд здаецца зусім адарваным ад рэальнасці, так як складана ўбачыць відавочныя плоскасці прымянення. Сапраўды, наўпрост іх выкарыстоўваць нідзе нельга, аднак яны лічацца неабходным прамежкавым элементам у працэсе вываду рашэнняў, якія выкарыстоўваюцца на практыцы. Так, інтэграванне назад дыферэнцыявання, дзякуючы чаму актыўна ўдзельнічае ў працэсе рашэння ўраўненняў.
У сваю чаргу гэтыя ўраўненні аказваюць непасрэдны ўплыў на рашэнне механічных праблем, вылічэнне траекторый і цеплаправоднасці - словам, на ўсё, што складае сучаснасць і фармуе будучыню. Нявызначаны інтэграл, прыклады якога мы разгледзелі вышэй, трывіяльны толькі на першы погляд, бо з'яўляецца базай для здзяйснення ўсё новых і новых адкрыццяў.