АдукацыяНавука

Парадокс Рассела: асноўныя звесткі, прыклады, фармулёўкі

Парадокс Рассела уяўляе дзве Узаемазалежныя лагічныя антыноміі.

Дзве формы парадоксу Расэла

Найбольш часта абмяркоўваецца формай з'яўляецца супярэчнасць у логіцы мностваў. Адны мноства, здаецца, могуць быць членамі саміх сябе, а іншыя - не. Мноства ўсіх мностваў само з'яўляецца мноствам, таму здаецца, што ён паходзіць з самога сябе. Нулявое або пустое, аднак, не павінна быць членам самога сябе. Таму мноства ўсіх мностваў, як і нулявы, не ўваходзіць само ў сябе. Парадокс ўзнікае пры пытанні пра тое, ці з'яўляецца мноства членам самога сябе. Гэта магчыма тады і толькі тады, калі гэта не так.

Іншая форма парадоксу ўяўляе сабой супярэчнасць, якое тычыцца уласцівасцяў. Некаторыя ўласцівасці, здаецца, ставяцца да сябе, у той час як іншыя не. Ўласцівасць быць уласцівасцю само па сабе з'яўляецца уласцівасцю, у той час як ўласцівасць быць коткай ёю не з'яўляецца. Разгледзім ўласцівасць мець ўласцівасць, якое не адносіцца да сябе. Дастасавальна Ці яно да самога сябе? Зноў жа, з любога здагадкі трэба супрацьлеглае. Парадокс быў названы ў гонар Бертрана Рассела (1872-1970), які адкрыў яго ў 1901 годзе.

гісторыя

Адкрыццё Расэла адбылося падчас яго працы над «Прынцыпамі матэматыкі». Хоць ён выявіў парадокс самастойна, ёсць доказы таго, што іншыя матэматыкі і распрацоўшчыкі тэорыі мностваў, уключаючы Эрнста Цермело і Давіда Гільберта, ведалі пра першую версіі супярэчнасці раней за яго. Расэл, аднак, быў першым, хто падрабязна абмеркаваў парадокс у сваіх апублікаваных працах, першым паспрабаваў сфармуляваць рашэнні і першым у поўнай меры ацаніў яго значнасць. Цэлая кіраўнік «Прынцыпаў» была прысвечана абмеркаванню гэтага пытання, а прыкладанне было прысвечана тэорыі тыпаў, якую Расэл прапанаваў у якасці рашэння.

Расэл выявіў "парадокс лгуна», разглядаючы тэарэму мностваў Кантара, які абвяшчае аб тым, што магутнасць любога мноства менш, чым мноства яго падмноства. Прынамсі, у дамене павінна быць столькі ж падмноства, колькі ў ім ёсць элементаў, калі для кожнага элемента адно падмноства будзе мноствам, якія змяшчаюць толькі гэты элемент. Акрамя таго, Кантар даказаў, што колькасць элементаў не можа быць роўным ліку падмноства. Калі б іх было аднолькавае колькасць, то павінна была б існаваць функцыя ƒ, якая б адлюстроўвала элементы на іх падмноства. У той жа час можна даказаць, што гэта немагчыма. Некаторыя элементы могуць адлюстроўвацца функцыяй ƒ на падмноства, якія ўтрымліваюць іх, тады як іншыя не могуць.

Разгледзім падмноства элементаў, якія не належаць сваім вобразам, у якія іх адлюстроўвае ƒ. Яно само па сабе з'яўляецца падмноствам элементаў, і, такім чынам, функцыя ƒ павінна была б адлюстраваць яго на некаторы элемент у дамене. Праблема заключаецца ў тым, што тады ўзнікае пытанне пра тое, ці належыць гэты элемент падмноствам, на якое яго адлюстроўвае ƒ. Гэта магчыма толькі ў тым выпадку, калі ён не належыць. Парадокс Рассела можна разглядаць як прыклад такой жа лініі разваг, толькі спрошчаны. Чаго больш - мностваў або падмноства мностваў? Здавалася б, што павінна быць больш мностваў, так як усе падмноства мностваў самі з'яўляюцца мноствамі. Але калі тэарэма Кантара слушная, то павінна існаваць больш падмноства. Расэл разглядаў найпростае адлюстраванне мностваў на саміх сябе і ужыў канторианский падыход разгляду мноства ўсіх гэтых элементаў, якія не ўваходзяць у шматлікіх, у якія яны адлюстроўваюцца. Адлюстраванне Расэла становіцца мноствам ўсіх мностваў, у сябе не ўваходзяць.

памылка Фреге

«Парадокс лгуна» меў глыбокія наступствы для гістарычнага развіцця тэорыі мностваў. Ён паказаў, што паняцце універсальнага мноства з'яўляецца вельмі праблематычным. Ён таксама паставіў пад сумнеў паняцце аб тым, што для кожнага вызначанага ўмовы або прэдыкатаў можна выказаць здагадку існаванне мноства толькі тых рэчаў, якія задавальняюць гэтай умове. Варыянт парадоксу, які тычыцца уласцівасцяў - натуральнае працяг версіі са мноствамі - выклікаў сур'ёзныя сумневы з нагоды таго, ці можна сцвярджаць аб аб'ектыўным існаванні ўласцівасці або універсальнага адпаведнасці кожнаму якi вызначаецца умове або прэдыкаты.

У хуткім часе былі знойдзеныя супярэчнасці і праблемы ў працах тых логікі, філосафаў і матэматыкаў, якія рабілі падобныя здагадкі. У 1902 году Расэл выявіў, што варыянт парадоксу можна выказаць у лагічнай сістэме, распрацаванай ў I томе Готтлоба Фреге «Падставы арыфметыкі», адной з галоўных работ па логіцы канца XIX - пачатку XX стагоддзя. У філасофіі Фреге мноства разумеецца як «пашырэнне» або «значэнне-дыяпазон» паняцці. Паняцці з'яўляюцца бліжэйшымі карэляты да ўласцівасцяў. Мяркуецца, што яны існуюць для кожнага зададзенага стану або прэдыкаты. Такім чынам, існуе паняцце мноства, якое не падпадае пад яго вызначальнае паняцце. Існуе таксама клас, вызначаны гэтым паняццем, і ён падпадае пад якое вызначае яго паняцце толькі ў выпадку, калі гэта не так.

Расэл напісаў Фреге пра гэта супярэчнасці ў чэрвені 1902 г. Перапіска стала адной з самых цікавых і абмяркоўваюцца ў гісторыі логікі. Фреге неадкладна прызнаў катастрафічныя наступствы парадоксу. Ён адзначыў, аднак, што версія супярэчнасці, якая тычыцца уласцівасцяў, у яго філасофіі была дазволена шляхам адрознівання узроўняў паняццяў.

Фреге паняцці разумеў як функцыі пераходу ад аргументаў да значэнняў праўдзівасці. Паняцці першага ўзроўню прымаюць у якасці аргументаў аб'екты, паняцці другога ўзроўню прымаюць у якасці аргументаў гэтыя функцыі і гэтак далей. Такім чынам, паняцце ніколі не можа ўзяць сябе ў якасці аргументу, а парадокс у дачыненні уласцівасцяў не можа быць сфармуляваны. Тым не менш мноства, пашырэння або паняцця разумеліся Фреге як якія адносяцца да таго ж лагічнага тыпу, што і ўсе астатнія аб'екты. Тады для кожнага мноства ўзнікае пытанне, ці падпадае яно пад якое вызначае яго паняцце.

Калі Фреге атрымаў першы ліст Расэла, другі том «Падстаў арыфметыкі» ужо сканчаў друкавацца. Ён быў вымушаны хутка падрыхтаваць дадатак, якое дае адказ на парадокс Рассела. Прыклады Фреге ўтрымлівалі шэраг магчымых рашэнняў. Але ён прыйшоў да высновы, прыслабіўшы паняцце абстракцыі мноства ў лагічнай сістэме.

У арыгінале можна было прыйсці да высновы, што аб'ект належыць мноству тады і толькі тады, калі ён падпадае пад паняцце, яго вызначальнае. У перагледжанай сістэме можна толькі заключыць, што аб'ект належыць мноству тады і толькі тады, калі ён падпадае пад паняцце вызначае мноства, а не мноства, пра які ідзе гаворка. Парадокс Рассела не ўзнікае.

Рашэнне, аднак, не зусім задаволіла Фреге. І гэтаму была прычына. Некалькі гадоў праз для перагледжанай сістэмы была знойдзена больш складаная форма супярэчнасці. Але яшчэ да таго, як гэта адбылося, Фреге адмовіўся ад свайго рашэння і, здаецца, прыйшоў да высновы, што яго падыход быў проста неработоспособен, і што логіка прыйдзецца абыйсціся наогул без мностваў.

Тым не менш былі прапанаваны іншыя, адносна больш паспяховыя альтэрнатыўныя рашэнні. Яны абмяркоўваюцца ніжэй.

тэорыя тыпаў

Вышэй было адзначана, што ў Фреге быў адэкватны адказ на парадоксы тэорыі мностваў у варыянце, сфармуляваць для уласцівасцяў. Адказ Фреге папярэднічаў найбольш часта абмяркоўваецца вырашэнню гэтай формы парадоксу. Яно заснавана на тым, што ўласцівасці падпадаюць пад розныя тыпы і што тып ўласцівасці ніколі не бывае такім жа, як элементы, да якіх ён ставіцца.

Такім чынам, нават не ўзнікае пытанне, ці дастасавальна ўласцівасць да самога сябе. Лагічны мова, які падзяляе элементы па такой іерархіі, выкарыстоўвае тэорыю тыпаў. Хоць яна ўжо выкарыстоўваецца ў Фреге, упершыню яе цалкам растлумачыў і абгрунтаваў Расэл у Дадатку да «прынцыпаў». Тэорыя тыпаў была больш поўнай, чым распазнаванне узроўняў Фреге. Яна падзяляла ўласцівасці не толькі на розныя лагічныя тыпы, але таксама і мноства. Тэорыя тыпаў дазволіла супярэчнасць у парадоксе Расэла наступным чынам.

Для таго каб быць па-філасофску адэкватным, прыняцце тэорыі тыпаў для уласцівасцяў патрабуе распрацоўкі тэорыі аб характары уласцівасцяў такім чынам, каб можна было растлумачыць, чаму яны не могуць прымяняцца самі да сябе. На першы погляд мае сэнс предицировать сваё ўласнае ўласцівасць. Ўласцівасць быць самотождественного, здавалася б, таксама з'яўляецца самотождественного. Ўласцівасць быць прыемным здаецца прыемным. Сапраўды гэтак жа, па-відаць, здаецца ілжывым казаць пра тое, што ўласцівасць быць коткай з'яўляецца коткай.

Тым не менш розныя мысляры абгрунтоўвалі дзяленне тыпаў па-рознаму. Расэл нават даваў розныя тлумачэнні ў розны час сваёй кар'еры. Са свайго боку, абгрунтаванне падзелу Фреге розных узроўняў паняццяў зыходзіць з яго тэорыі ненасычанага паняццяў. Паняцці, як функцыі, па сутнасці, з'яўляюцца няпоўнымі. Каб даць значэнне, ім патрэбны аргумент. Нельга проста предицировать адно паняцце паняццем таго ж тыпу, паколькі яно ўсё яшчэ патрабуе свайго аргументу. Напрыклад, хоць яшчэ магчыма атрымаць квадратны корань з квадратнага кораня некаторага ліку, немагчыма проста ўжываць функцыю квадратнага кораня да функцыі квадратнага кораня і атрымаць вынік.

Аб кансерватызме уласцівасцяў

Іншым магчымым рашэннем парадоксу уласцівасцяў з'яўляецца адмаўленне існавання ўласцівасці ў адпаведнасці з любымі зададзенымі ўмовамі або добра сфармаваным прэдыкаты. Вядома, калі хто-то цураецца метафізічных уласцівасцяў як аб'ектыўных і незалежных элементаў у цэлым, то, калі прыняць номинализм, парадоксу можна цалкам пазбегнуць.

Аднак для вырашэння антыноміі не трэба быць гэтак экстрэмальным. Лагічныя сістэмы вышэйшага парадку, распрацаваныя Фреге і Расэлам, ўтрымлівалі, што называецца, паняційны прынцып, паводле якога для кожнай адкрытай формулы, незалежна ад таго, наколькі яна складаная, існуе як элемент ўласцівасць ці паняцце на прыкладзе толькі тых рэчаў, якія задавальняюць формуле. Яны ўжываліся да атрыбутаў любога магчымага набору умоў або прэдыкатаў, незалежна ад таго, наколькі яны былі складанымі.

Тым не менш можна было б прыняць больш строгую метафізіку уласцівасцяў, падаючы права аб'ектыўнага існавання простым уласцівасцям, уключаючы, напрыклад, такія як чырвоны колер, цвёрдасць, дабрыня і т. Д. Можна нават дазволіць гэтым уласцівасцям прымяняцца да саміх сябе, напрыклад, дабрыня можа быць добрай.

А той жа статус для складаных атрыбутаў можна адмаўляць, напрыклад, для такіх «уласцівасцяў», як мець-семнаццаць-галоў, быць-напісаным-пад-вадой і т. Д. У гэтым выпадку ніякае зададзенае ўмова не адпавядае ўласцівасці, разумеем як асобна існуючы элемент, які валодае сваімі ўласнымі ўласцівасцямі. Такім чынам можна адмаўляць існаванне простага ўласцівасці быць-уласцівасцю-якое-ня-дастасавальна-к-сабе і пазбегнуць парадоксу шляхам прымянення больш кансерватыўнай метафізікі уласцівасцяў.

Парадокс Рассела: рашэнне

Вышэй было адзначана, што ў канцы свайго жыцця Фреге цалкам адмовіўся ад логікі мностваў. Гэта, вядома, адно рашэнне антыноміі ў форме мностваў: простае адмаўленне існавання такіх элементаў у цэлым. Акрамя гэтага, ёсць і іншыя папулярныя рашэнні, асноўныя звесткі аб якіх прадстаўлены ніжэй.

Тэорыя тыпаў для мностваў

Як згадвалася раней, Расэл выступаў за больш поўную тэорыю тыпаў, якая б падзяляла не толькі ўласцівасці або паняцця на розныя тыпы, але таксама і мноства. Расэл дзяліў мноства на мноства асобных аб'ектаў, мноства мностваў асобных аб'ектаў і т. Д. Мноства не лічыліся аб'ектамі, а мноства мностваў - мноствамі. Мноства ніколі не валодала тыпам, якія дазваляюць мець у якасці члена самога сябе. Таму няма мноства ўсіх мностваў, якія не з'яўляюцца ўласнымі членамі, таму што для любога мноства пытанне аб тым, ці з'яўляецца яно сваім сябрам, сам па сабе з'яўляецца парушэннем тыпу. Зноў жа, праблема тут заключаецца ў растлумачэнні метафізікі мностваў для таго, каб растлумачыць філасофскія падставы дзялення на тыпы.

стратыфікацыя

У 1937 годзе В. В. Куін прапанаваў альтэрнатыўнае рашэнне, у пэўным сэнсе падобнае на тэорыю тыпаў. Асноўныя звесткі пра яго такія.

Падзел элементам, мностваў і інш. Вырабляецца такім чынам, што здагадка аб знаходжанні мноства ў сабе заўсёды з'яўляецца няправільным ці бессэнсоўным. Мноства могуць існаваць толькі пры ўмове, калі вызначаюць іх ўмовы не з'яўляюцца парушэннем тыпаў. Такім чынам, для Куін выраз «х не з'яўляецца чальцом х» з'яўляецца значным сцвярджэннем, ня прадугледжваюць існавання мноства ўсіх элементаў х, якія задавальняюць гэтай умове.

У дадзенай сістэме мноства існуе для некаторай адкрытай формулы А тады і толькі тады, калі яна стратыфікаваць, т. Е. Калі пераменным прысвоены натуральныя лікі такім чынам, што для кожнага прыкметы ўваходжання ў мноства папярэдняй яму зменнай прысвойваецца прызначэнне на адзінку менш, чым зменнай, наступнай пасля яго. Гэта блакуе парадокс Рассела, паколькі ў формуле, якая выкарыстоўваецца для вызначэння праблемнага мноства, маецца адна і тая ж пераменная да і пасля знака сяброўства, што робіць яго нестратифицированным.

Аднак яшчэ трэба будзе вызначыць, ці з'яўляецца выніковая сістэма, якую Куін называў «Новыя падставы матэматычнай логікі», несупярэчлівай.

Отсортировка

Цалкам іншы падыход прыняты ў тэорыі мностваў Цермело - Френкеля (ЦФ). Тут таксама усталёўваецца абмежаванне на існаванне мностваў. Замест падыходу «зверху ўніз» Расэла і Фреге, якія першапачаткова лічылі, што для любога паняцці, уласцівасці або ўмовы можна выказаць здагадку існаванне мноства ўсіх рэчаў з такой уласцівасцю або якія задавальняюць такому умове, у ЦФ-тэорыі ўсё пачынаецца «знізу ўверх».

Асобныя элементы і пустое мноства ўтвараюць мноства. Таму, у адрозненне ад ранніх сістэм Расэла і Фреге, ЦФ не адносіцца да універсальнага мноства, якое ўключае ўсе элементы і нават усе мноства. ЦФ ўстанаўлівае жорсткія абмежаванні на існаванне мностваў. Могуць існаваць толькі тыя з іх, для якіх гэта відавочна пастулявалі або якія могуць быць складзеныя з дапамогай ітэрацыйныя працэсаў і т. Д.

Затым, замест паняцця абстракцыі наіўнага мноства, якое абвяшчае аб тым, што элемент уключаны ў пэўны мноства тады і толькі тады, калі ён адказвае вызначальнаму умове, у ЦФ выкарыстоўваецца прынцып падзелу, вылучэння або «отсортировки». Замест здагадкі пра існаванне мноства ўсіх элементаў, якія без выключэнняў задавальняюць некаторага умове, для кожнага ўжо існуючага мноства, отсортировка кажа пра існаванне падмноства ўсіх элементаў у арыгінальным мностве, якое задавальняе ўмове.

Затым уступае прынцып абстракцыі: калі мноства A існуе, то для ўсіх элементаў х у А, х належыць падмноствам А, якое задавальняе ўмове З тады і толькі тады, калі х задавальняе ўмове С. Такі падыход вырашае парадокс Рассела, паколькі мы не можам проста меркаваць , што ёсць мноства ўсіх мностваў, якія не з'яўляюцца членамі саміх сябе.

Маючы мноства мностваў, можна вылучыць або падзяліць яго на мноства, якія знаходзяцца ў сабе, і на тыя, якія такімі не з'яўляюцца, але так як не існуе універсальнага мноства, мы не звязаны мноствам ўсіх мностваў. Без дапушчэння праблемнага мноства Расэла супярэчнасць не можа быць даказана.

іншыя рашэнні

Акрамя таго, мелі месца наступныя пашырэння або мадыфікацыі ўсіх гэтых рашэнняў, такія як разгалінаванне тэорыі тыпаў «Прынцыпаў матэматыкі», пашырэнне сістэмы «Матэматычнай логікі» Куін, а таксама пазнейшыя распрацоўкі ў тэорыі мностваў, зробленыя Бернайсом, Гедель і фон Нэйману. Пытанне пра тое, ці знойдзены адказ на невырашальны парадокс Бертрана Расэла, па-ранейшаму з'яўляецца прадметам дыскусій.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 be.delachieve.com. Theme powered by WordPress.