Паралельныя прамыя на плоскасці і ў прасторы

На плоскасці прамыя называюцца паралельнымі, калі ў іх няма агульных кропак, гэта значыць яны не перасякаюцца. Для абазначэння паралельнасці выкарыстоўваюць спецыяльны значок || (Паралельныя прамыя a || b).

Для прамых, якія ляжаць у прасторы, патрабаванні адсутнасці агульных кропак недастаткова - каб яны ў прасторы былі паралельнымі, яны павінны належаць адной плоскасці (інакш яны будуць скрыжаванымі).

За прыкладамі паралельных прамых далёка ісці не трэба, яны суправаджаюць нас паўсюль, у пакоі - гэта лініі перасячэння сцяны з столлю і падлогай, на сшыткавых лісце - супрацьлеглыя краю і г.д.

Цалкам відавочна, што, маючы раўналежнасць двух прамых і трэцюю прамую, паралельную адной з першых двух, яна будзе раўналежная і другі.

Паралельныя прамыя на плоскасці звязаны сцвярджэннем, якое не даказваецца з дапамогай аксіём планіметрыі. Яго прымаюць як факт, у якасці аксіёмы: для любой кропкі на плоскасці, ня якая ляжыць на прамой, існуе адзіная прамая, якая праходзіць праз яе паралельна дадзенай. Гэтую аксіёму ведае кожны шасцікласнік.

Яе прасторавае абагульненне, то ёсць сцвярджэнне, што для любой кропкі ў прасторы, не ляжыць на прамой, існуе адзіная прамая, якая праходзіць праз яе паралельна дадзенай, лёгка даказваецца з дапамогай ужо вядомай нам аксіёмы паралельнасці на плоскасці.

Ўласцівасці паралельных прамых

• Калі любая з паралельных двух прамых раўналежная трэцяй, то яны ўзаемна раўналежныя.

Гэтай уласцівасцю валодаюць паралельныя прамыя і на плоскасці, і ў прасторы.
У якасці прыкладу разгледзім яго абгрунтаванне ў стэрэаметрыі.

Дапусцім раўналежнасць прамых b і з прамой a.

Выпадак, калі ўсе прамыя ляжаць у адной і той жа плоскасці пакінем планіметрыі.

Выкажам здагадку, a і b належаць плоскасці Бэці, а гама - плоскасць, якой належаць a і з (па вызначэнні паралельнасці ў прасторы прамыя павінны належаць адной плоскасці).

Калі дапусціць, што плоскасці Бэці і гама розныя і адзначыць на прамой b з плоскасці Бэці нейкую кропку B, то плоскасць, праведзеная праз кропку B і прамую з павінна перасекчы плоскасць Бэці па прамой (пазначым яе b1).

Калі б атрыманая прамая b1 перасякала плоскасць гама, то, з аднаго боку, кропка перасячэння павінна была б ляжаць на a, паколькі b1 належыць плоскасці Бэці, а з другога, яна павінна належаць і з, паколькі b1 належыць трэцяй плоскасці.
Але ж паралельныя прамыя a і з перасякацца не павінны.

Такім чынам, прамая b1 павінна належаць плоскасці Бэці і пры гэтым не мець агульных кропак з a, такім чынам, згодна з аксіоме паралельнасці, яна супадае з b.
Мы атрымалі супадальную з прамой b прамую b1, якая належыць адной і той жа плоскасці з прамой с і пры гэтым яе ня перасякае, то ёсць b і з - раўналежныя

• Праз кропку, якая не ляжыць на зададзенай прамой, паралельная дадзенай можа праходзіць толькі адна адзіная прамая.

• Якія ляжаць на плоскасці перпендыкулярна трэцяй дзве прамыя раўналежныя.

• Пры ўмове перасячэння плоскасці адной з паралельных двух прамых, гэтую ж плоскасць перасякае і другая прамая.

• Адпаведныя і накрыж ляжаць ўнутраныя куты, адукаваныя перасячэннем паралельных дзвюх прамых трэцяй, роўныя, сума ў ўтварыліся пры гэтым ўнутраных аднабаковых роўная 180 °.

Верныя і зваротныя сцвярджэнні, якія можна прыняць за прыкметы паралельнасці двух прамых.

Ўмова паралельнасці прамых

Сфармуляваныя вышэй ўласцівасці і прыкметы ўяўляюць сабой ўмовы паралельнасці прамых, і іх цалкам можна даказаць метадамі геаметрыі. Інакш кажучы, для доказу паралельнасці двух наяўных прамых дастаткова даказаць іх раўналежнасць трэцяй прамой альбо роўнасць кутоў, няхай гэта будзе адпаведных або накрыж якія ляжаць, і да т.п.

Для доказу ў асноўным выкарыстоўваюць метад «ад адваротнага», гэта значыць з дапушчэння, што прамыя непараллельность. Зыходзячы з гэтага дапушчэння, лёгка можна паказаць, што ў гэтым выпадку парушаюцца зададзеныя ўмовы, напрыклад, накрыж ляжаць ўнутраныя куты аказваюцца няроўнымі, што і даказвае некарэктнасць зробленага дапушчэння.