Пяты пастулат Эўкліда: фармулёўка

Лічыцца, што першыя чалавечыя цывілізацыі з'явіліся 10 000 гадоў таму. У параўнанні з узростам нашай планеты, які, па разліках навукоўцаў, складае каля 4,54 мільёна гадоў, гэта толькі кароткае імгненне. За гэта «імгненне» чалавецтва зрабіла велізарны рывок ад прымітыўных каменных прылад працы да міжпланетных касмічных караблёў. Ён быў бы немагчымы, калі час ад часу на планеце не нараджаліся б геніі, рухацца наперад навуку. Да іх ліку, безумоўна, адносіцца Еўклід. Яго працы сталі асновай і магутным штуршком для развіцця сучаснай матэматыкі.

Гэты артыкул прысвечана пятага пастулату Еўкліда і яго гісторыі.

Як з'явілася геаметрыя

З таго часу, як зямельныя надзелы сталі прадметам куплі-продажу і здачы ў арэнду, іх памеры і плошчу трэба было вымяраць, у тым ліку шляхам вылічэнняў. Акрамя таго, падобныя разлікі сталі неабходныя пры будаўніцтве маштабных збудаванняў, а таксама пры вымярэнні аб'ёму розных прадметаў. Усё гэта стала перадумовамі ўзнікнення 3-4 тысячагоддзі назад у Егіпце і Вавілон мастацтва каморнікам. Яно было эмпірычным і ўяўляла сабой сход прыкладаў рашэння некалькіх сотняў канкрэтных задач, без якіх-небудзь доказаў.

Як сістэматычная навука геаметрыя склалася ў Старажытнай Грэцыі. Ужо да трэцяга стагоддзя да нашай эры меўся вялікі запас фактаў і доказных метадаў. Разам з тым паўстала задача абагульніць сабраны дастаткова шырокі геаметрычны матэрыял. Яе спрабавалі вырашыць Гіпакрат, Федий і іншыя старажытнагрэцкія філосафы. Аднак лагічна вывераная навуковая сістэма з'явілася толькі каля 300 года да н. э. з апублiкаваннем «Пачаў».

Кім быў Еўклід

Старажытная Грэцыя дала свету многіх найвялікшых філосафаў і навукоўцаў. Адным з іх з'яўляецца Еўклід, які стаў заснавальнікам Александрыйскай матэматычнай школы. Пра самае вучоным практычна нічога не вядома. Некаторыя крыніцы паказваюць, што ў маладосці будучы Бацька сучаснай геаметрыі вучыўся ў вядомай школе Платона ў Афінах, а затым вярнуўся ў Александрыю, дзе працягнуў займацца матэматыкай і оптыкай, а таксама пісаў музыку. У родным горадзе ён заснаваў школу, дзе разам з вучнямі і стварыў свой знакамітая праца, які на працягу больш чым двух тысячагоддзяў з'яўляецца базай для любога падручніка па планіметрыі і стэрэаметрыі.

«Пачала» Еўкліда

Галоўны і першы найбольш сістэматызаваны праца па геаметрыі складаецца з 13 тамоў. Першыя чатыры і шостая кнігі тычацца планіметрыі, а 11, 12 і 13-ая - стэрэаметрыі. Што тычыцца астатніх тамоў, то яны прысвечаны арыфметыцы, якая прыводзіцца з пункту гледжання геаметрычных пастулатаў.

Ролю галоўнага працы Еўкліда ў наступным развіцці матэматычных навук цяжка пераацаніць. Да нас дайшло некалькі папірусных спісаў з арыгінала, а таксама візантыйскіх манускрыптаў.

У Сярэднія стагоддзі «Пачала» Еўкліда вывучаліся перш за ўсё арабамі, якія лічылі іх адным з найвялікшых твораў чалавечай думкі, а самога вучонага жыхаром Дамаска. Шмат пазней гэтымі працамі зацікавіліся еўрапейцы. З з'яўленнем кнігадрукавання навука, у тым ліку геаметрыя Эўкліда перастала быць здабыткам толькі абраных. Пасля першага выдання ў 1533 г. «Пачала» сталі даступныя ўсім, хто жадаў спазнаць свет, а такіх з кожным годам станавілася ўсё больш. Попыт спарадзіў прапанова, таму лічыцца, што гэтая праца з'яўляецца другім у ліку самых чытаных помнікаў старажытнасці пасля Бібліі.

некаторыя асаблівасці

У «Пачатках» апісваюцца метрычныя ўласцівасці трохмернага, пустога, бязмежнага і ізатропнай прасторы, якое прынята называць эўклідавай. Яна лiчыцца арэнай, дзе адбываюцца з'явы класічнай фізікі Галілея і Ньютана.

Элементарным геаметрычным аб'ектам, на думку Еўкліда, з'яўляецца кропка. Другое важнае паняцце - бясконцасць прасторы, якая характарызуецца трыма першымі пастулатамі. Чацвёрты тычыцца роўнасці прамых кутоў. Што тычыцца пятага пастулату Еўкліда, то менавіта ён вызначае ўласцівасці і геаметрыю эўклідавай прасторы.

На думку навукоўцаў, бацька класічнай геаметрыі стварыў дасканалы падручнік, пры вывучэнні якога выключаюцца якія-небудзь неразумення матэрыялу з-за спосабу яго выкладу. У прыватнасці, кожны том «Пачаў» пачынаецца з вызначэння паняццяў, сустракаемых ўпершыню. У прыватнасці, з першых старонак 1-й кнігі чытач пазнае, што такое кропка, лінія, прамая і пр. Усяго ў ёй прысутнічае 23 вызначэння, неабходных для разумення асноўных палажэнняў матэрыялу, прадстаўленага ў гэтым фундаментальным працы.

Аксіёмы і першыя 4 пастулату Еўкліда

Пасля азначэнняў аўтар «Пачаў» прыводзіць прапановы, якія прымаюцца без доказы. Іх ён падзяляе на аксіёмы і пастулаты. Першая група складаецца з 11 сцвярджэнняў, якія чалавеку вядомыя інтуітыўна. Напрыклад, 8-я аксіёма абвяшчае, што цэлае больш часткі, а паводле першай, дзве велічыні, паасобку роўныя трэцяй, роўныя паміж сабой.

Акрамя таго, Еўклід прыводзіць 5 пастулатаў. Першыя чатыры абвяшчаюць:

• ад любой кропкі да ўсякай іншай можна правесці прамую;
• з любога цэнтра ўсякіх радыусам магчыма апісаць акружнасць;
• абмежаваная прамая можа бесперапынна працягвацца па прамой;
• ўсе прамыя куты роўныя.

Пяты пастулат Эўкліда

На працягу больш за двух тысячагоддзяў гэта зацвярджэнне неаднаразова станавілася аб'ектам пільнай увагі матэматыкаў. Аднак спачатку пазнаёмімся з утрыманнем пятага пастулату Еўкліда. Такім чынам, у сучаснай фармулёўцы ён гучыць так: калі на плоскасці пры перасячэнні дзвюх прамых трэцяй сума аднабаковых ўнутраных кутоў менш 180 °, то гэтыя прамыя пры працягу рана ці позна перасякуцца з таго боку, з якой гэтая велічыня (сума) менш 180 °.

Пяты пастулат Эўкліда, фармулёўка якога ў розных крыніцах прыводзіцца па-рознаму, з самага пачатку выклікала спорт і жаданне перавесці яго ў разрад тэарэм шляхам пабудовы абгрунтаванага доказы. Дарэчы, нярэдка яго падмяняюць іншым выразам, на самай справе прыдуманым пракляты і вядомым таксама, як аксіёма Плейфера. Яна абвяшчае: на плоскасці праз кропку, ня якая належыць дадзенай прамой, магчыма правесці адну і толькі адну прамую, паралельную дадзенай.

фармулёўкі

Як ужо было сказана, многія навукоўцы спрабавалі па-іншаму выказаць ідэю 5-га пастулату Еўкліда. Многія фармулёўкі дастаткова відавочныя. напрыклад:

• збліжаюцца прамыя перасякаюцца;
• існуе хаця б адзін прастакутнік, то ёсць 4-кутнік з чатырма прамымі кутамі;
• кожная фігура можа быць прапарцыйна павялічана;
• існуе трохкутнік, які мае любую, калі заўгодна вялікі пляц.

недахопы

Геаметрыя Эўкліда стала найвялікшым матэматычным цяжкасцю антычнасці і аж да 19 стагоддзя яна непадзельна панавала ў матэматыцы. Нягледзячы на гэта, некаторыя яе недахопы былі адзначаны яшчэ сучаснікамі аўтара і Старагрэцкая навукоўцамі, якія жылі некалькі пазней. У прыватнасці, Архімед дадаў новую аксіёму, названую яго імем. Ён такі: для любых адрэзкаў AB і CD існуе такое натуральны лік n, што n · [AB]> [CD].

Акрамя таго, навукоўцы імкнуліся мінімізаваць сістэму эўклідавай пастулатаў і аксіём. Для гэтага яны вывелі некаторыя з іх з астатніх.

Так атрымалася «пазбавіцца» ад 4-га пастулату аб роўнасці прамых кутоў. Для яго было знойдзена строгі доказ, дзякуючы чаму ён перайшоў у разрад тэарэм.

Гісторыя 5 пастулату ў старажытнасці і ў раннім Сярэднявеччы

Класічная фармулёўка гэтага сцвярджэння геаметрыі Эўкліда здаецца значна менш відавочнай, чым чатырох іншых. Менавіта гэтая акалічнасць не давала спакою матэматыкам.

Каменем перапоны для пятага пастулату Еўкліда з'явілася само вызначэнне паралельнасці двух прамых a і b, якое абвяшчае, што сума двух аднабаковых кутоў, якія ўтвораны перасячэннем a і b з трэцяй прамой c, роўная 180 градусам.

Першая спроба даказаць яго як тэарэму была прадпрынятая старажытнагрэцкім геаметрыі Посидонием. Ён прапанаваў лічыць прамой паралельнай дадзенай мноства ўсіх кропак плоскасці, якія знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад зыходнай. Аднак нават гэта не дазволіла Посидонию знайсці доказ 5-га пастулату.

Ні да чаго не прывялі і спробы іншых матэматыкаў, у тым ліку і сярэднявечных, такіх як жа арабы ібн Кар і Хайам. Адзінае, чаго ўдалося дамагчыся - з'яўленне новых пастулатаў, якія даказваюцца з улікам розных дапушчэнняў.

У 18-19-х стагоддзях

Класічная геаметрыя працягвала цікавіць матэматыкаў і ў 18-м стагоддзі. У прыватнасці, досыць блізка да доказу аксіёмы паралельнасці Еўкліда змог падысці французскі матэматык А. Лежандр. Яго пяру належыць выбітны падручнік «Пачала геаметрыі», які каля 150 гадоў быў асноўным пры навучанні матэматыцы ў школах Расійскай імперыі. У ім навуковец прывёў тры варыянты доказы эўклідавай аксіёмы паралельнасці, аднак усе яны апынуліся некарэктнымі.

Да пачатку 19-га стагоддзя ўзнікла ідэя стварэння неевклидовой геаметрыі. Першым апісанне сістэмы, не якая залежыць ад пятага пастулату, прывёў ваенны інжынер Я. Бойаи. Але ён сам спалохаўся свайго адкрыцця і не стаў развіваць гэтую ідэю, палічыўшы яе памылковай. Поспеху не змог дабіцца і вялікі нямецкі матэматык К. Гаўса.

прарыў

На працягу больш за 2000 гадоў пяты пастулат Эўкліда, доказ якога спрабавалі знайсці сотні навукоўцаў, заставаўся праблемай нумар адзін у матэматыцы. Прарыў здзейсніў расійскі матэматык Н. І. Лабачэўскі. Менавіта яму першаму ў свеце ўдалося апісаць ўласцівасці рэальнага прасторы, давёўшы, што геаметрыя Эўкліда «працуе» толькі ў прыватным выпадку яго сістэмы.

Н. І. Лабачэўскі першапачаткова пайшоў па тым жа шляху, што і яго калегі. Спрабуючы даказаць 5-й пастулат, ён не дамогся поспеху. Тады вучоны адмовіўся ад эўклідавай прадстаўлення, згодна з якім сума вуглоў трохвугольніка роўная 180 градусам. Далей ён пачаў даводзіць гэта зацвярджэнне ад адваротнага і атрымаў новую фармулёўку для пятага пастулату. Цяпер ён дапускаў існаванне некалькіх прамых, паралельных дадзенай, і якія праходзяць праз кропку, якая ляжыць па-за гэтай прамой.

Новая геаметрыя

Няма сэнсу абмяркоўваць, хто зрабіў больш для матэматычнай навукі. Ролю Еўкліда і Лабачэўскага супастаўная з уплывам на фарміраванне і развіццё фізікі Ньютана і Эйнштэйна. У той жа час новая, абсалютная геаметрыя дазволіла разглядаць паняцце прасторы, адарваўшыся ад класічнага метаду «магу зразумець толькі тое, што магу вымераць». А бо менавіта такі падыход практыкаваўся ў навуцы на працягу многіх тысячагоддзяў.

На жаль, ідэі геаметрыі Лабачэўскага не былі ўспрыняты і зразуметыя сучаснікамі. У прыватнасці, яго вучні не працягнулі справу навукоўца, і развіццё неевклидовой геаметрыі было адкладзена на некалькі дзесяцігоддзяў.

Некаторыя асаблівасці тэорыі Лабачэўскага

Каб зразумець новую геаметрыю, трэба разгледзець касмічную бясконцасць. Сапраўды, цяжка ўявіць, што бязмежнага Сусвет ўяўляе сабой суму прамалінейных прастор.

Геаметрыя Лабачэўскага ўжываецца для апісання крывалінейных прастор, якія ствараюцца гравітацыйнымі палямі галактык. Яна дазволіла адысці ад метаду ведама ўсіх фігур да «прыблізна правільным» цыліндра, колу, пірамідзе або да адвольнага спалучэнню гэтых фігур. Бо, напрыклад, наша планета ў рэальнасці - ня шар, а геоид, т. Е. Фігура, якая атрымліваецца пры очерчивании вонкавага контуру літасферы (цвёрдай абалонкі) Зямлі.

У рэальным жыцці таксама ёсць аналагі крывалінейных прастор Сусвету, якія дазваляюць прадставіць магчымасць існавання некалькіх прамых паралельных дадзенай, якія праходзяць праз адну кропку. У прыватнасці, гэта выгнутыя паверхні трох тыпаў, якія выдзелены італьянскім геаметрыі Е. Бельтрам і названыя псевдосферами.

Далейшае развіццё тэорыі Лабачэўскага

Выбітны рускі быў не адзіным, хто выказаў здагадку ня абсалютнасць эўклідавай геаметрыі. У прыватнасці, матэматык Б. Рыма у 1854 году высунуў ідэю аб магчымасці існавання прастор нулявы, станоўчай і адмоўнай крывізны. Гэта азначала, што магчыма стварэнне бясконцага мноства розных некласічных геаметрыі.

З пазіцый Б. Рымана, які вывучаў у асноўным прасторы з станоўчай крывізной, 5-й пастулат Эўкліда гучыць досыць нечакана. Згодна з яго ідэям, праз кропку па-за дадзенай прамой нельга правесці ні адной прамой, якая раўналежная дадзенай.

Зусім па-іншаму ідзе справу з прасторамі нулявы, адмоўнай і станоўчай крывулі па тэорыі Ф. Клейна. У прыватнасці, у першым выпадку яны апісваюцца парабалічнай геаметрыяй, прыватным выпадкам якой з'яўляецца класічная, у другі - падпарадкоўваюцца ідэям Лабачэўскага, а ў трэцім - адпавядаюць уласцівасцям, апісаным Риманом.

Пасля апублікавання Тэорыі адноснасці Альберта Эйнштэйна, паданні аб такіх прасторах дапоўнілі дадзенымі, якія ўлічваюць існаванне чатырох ўзаемаабумоўленых і змяняюцца вымярэнняў - масы, энергіі, хуткасці і часу.

На практыцы

Калі перайсці да чалавечага ўспрымання прасторы, то ў межах зямной арбіты для гіганцкага трыкутніка максімальна вялікага з магчымых адхіленне сумы ўнутраных кутоў ад класічных 180 градусаў складзе ўсяго чатыры мільённых секунды. Такая велічыня знаходзіцца за гранню магчымасцяў гома сапіенса, таму для «зямных» запатрабаванай з'яўляецца геаметрыя Эўкліда.

Застаецца чакаць, калі будуць створаны ўмовы, якія дазваляюць атрымаць эксперыментальныя дадзеныя, якія пацвердзяць або аспрэчаны тэорыі Н. Лабачэўскага і Б. Рымана ў маштабах Галактыкі.

Зараз вам вядомыя, што дэкларуе пяты пастулат Эўкліда і яго гісторыя, якая вельмі павучальная і дазваляе прасачыць эвалюцыю чалавечай думкі на працягу апошніх 2300 гадоў.