Сапраўдныя лікі і іх ўласцівасці

Піфагор сцвярджаў, што лік ляжыць у падставе свету нароўні з асноўнымі стыхіямі. Платон лічыў, што лік звязвае феномен і ноумен, дапамагаючы пазнаваць, сувымяраць і рабіць высновы. Арыфметыка паходзіць ад слова "арифмос" - колькасць, пачатак пачаткаў ў матэматыцы. Ім можна апісаць любы аб'ект - ад элементарнага яблыка да абстрактных прастор.

Патрэбы як фактар развіцця

На пачатковых этапах станаўлення грамадства патрэбы людзей абмяжоўваліся неабходнасцю весці лік - адзін мяшок збожжа, два мяхі збожжа і т. Д. Для гэтага дастаткова было натуральных лікаў, мноства якіх уяўляе сабой бясконцую станоўчую паслядоўнасць цэлых лікаў N.

Пазней, з развіццём матэматыкі як навукі, паўстала неабходнасць у асобным поле цэлых лікаў Z - яно ўключае ў сябе адмоўныя велічыні і нуль. Яго з'яўленне на побытавым узроўні было справакавана тым, што ў першаснай бухгалтэрыі неабходна было неяк зафіксаваць даўгі і страты. На навуковым узроўні адмоўныя лікі зрабілі магчымым рашэнне найпростых лінейных раўнанняў. Апроч іншага, цяпер стала магчымым малюнак трывіяльнай сістэмы каардынатаў, т. К. З'явілася кропка адліку.

Наступным крокам стала неабходнасць уводу дробавых лікаў, так як навука не стаяла на месцы, усё новыя і новыя адкрыцці патрабавалі тэарэтычнай базы для новага штуршка росту. Так з'явілася поле рацыянальных лікаў Q.

Нарэшце, рацыянальнасць перастала задавальняць запыты, бо ўсё новыя высновы патрабавалі абгрунтавання. З'явіліся поле сапраўдных лікаў R, працы Еўкліда аб несувымернасьці некаторых велічынь у сілу іх ірацыянальнасці. Гэта значыць старажытнагрэцкія матэматыкі пазіцыянавалі лік не толькі як канстанту, але і як абстрактную велічыню, якая характарызуецца стаўленнем несувымерныя велічынь. Дзякуючы таму што з'явіліся сапраўдныя лікі, "пабачылі свет" такія велічыні, як "пі" і "е", без якіх сучасная матэматыка не змагла б адбыцца.

Фінальным новаўвядзеннем стала комплекснае лік C. Яно адказала на шэраг пытанняў і абвергла раней уведзеныя пастулаты. З-за імклівага развіцця алгебры зыход быў прадказальны - маючы сапраўдныя лікі, рашэнне многіх задач было немагчыма. Напрыклад, дзякуючы комплексным чыслах вылучыліся тэорыі струн і хаосу, пашырыліся ўраўненні гідрадынамікі.

Тэорыя мностваў. Кантар

Паняцце бясконцасці ва ўсе часы выклікала спрэчкі, бо яго нельга было ні даказаць, ні абвергнуць. У кантэксце матэматыкі, якая аперыравала строга выверанымі пастулатамі, гэта выяўлялася найбольш відавочна, тым больш што тэалагічны аспект ўсё яшчэ меў вагу ў навуцы.

Аднак дзякуючы працам матэматыка Георга Кантара усё з цягам часу стала на свае месцы. Ён даказаў, што бясконцых мностваў існуе бясконцае мноства, і тое, што поле R больш поля N, хай яны абодва і не маюць канца. У сярэдзіне XIX стагоддзя яго ідэі голасна называлі трызненнем і злачынствам супраць класічных, непарушных канонаў, аднак час усё расставіла на свае месцы.

Асноўныя ўласцівасці поля R

Сапраўдныя лікі валодаюць не толькі тымі ж ўласцівасцямі, што і подможества, якія ў іх уключаны, але і дапоўнены іншымі ў сілу масшабности сваіх элементаў:

• Нуль існуе і належыць полі R. c + 0 = c для любога c з R.
• Нуль існуе і належыць полі R. c х 0 = 0 для любога c з R.
• Стаўленне c: d пры d ≠ 0 існуе і з'яўляецца сапраўдным для любых c, d з R.
• Поле R упарадкавана, гэта значыць калі c ≤ d, d ≤ c, то c = d для любых c, d з R.
• Складанне ў поле R з'яўляецца коммутативным, то ёсць c + d = d + c для любых c, d з R.
• Множанне ў поле R з'яўляецца коммутативным, то ёсць c х d = d х c для любых c, d з R.
• Складанне ў поле R з'яўляецца асацыятыўным, то ёсць (c + d) + f = c + (d + f) для любых c, d, f з R.
• Множанне ў поле R асацыятыўна, то ёсць (c х d) х f = c х (d х f) для любых c, d, f з R.
• Для кожнага колькасці з поля R існуе яму супрацьлеглае, такое што c + (-c) = 0, дзе c, -c з R.
• Для кожнага колькасці з поля R існуе яму адваротнае, такое што c х c ^-1 = 1, дзе c, c ^-1 з R.
• Адзінка існуе і належыць R, так што c х 1 = c, для любога c з R.
• Мае сілу размеркавальны закон, так што c х (d + f) = c х d + c х f, для любых c, d, f з R.
• У поле R нуль ня роўны адзінцы.
• Поле R з'яўляецца транзітыўнасць: калі c ≤ d, d ≤ f, то c ≤ f для любых c, d, f з R.
• У поле R парадак і складанне ўзаемазвязаны: калі c ≤ d, то c + f ≤ d + f для любых c, d, f з R.
• У поле R парадак і множанне ўзаемазвязаны: калі 0 ≤ c, 0 ≤ d, то 0 ≤ c х d для любых c, d з R.
• Як адмоўныя, так і станоўчыя сапраўдныя лікі бесперапынна, гэта значыць для любых c, d з R знойдзецца такое f з R, што c ≤ f ≤ d.

Модуль у поле R

Сапраўдныя лікі ўключаюць у сябе такое паняцце, як модуль. Пазначаецца ён як | f | для любога f з R. | f | = F, калі 0 ≤ f і | f | = -f, калі 0> f. Калі разглядаць модуль як геаметрычную велічыню, то ён уяўляе сабой пройдзеная адлегласць - няважна, "прайшлі" вы за нуль у мінус ці наперад да плюсу.

Комплексныя і сапраўдныя лікі. Што агульнага і ў чым адрозненні?

Па вялікім рахунку, комплексныя і сапраўдныя лікі - гэта адно і тое ж, хіба што да першага далучылася уяўная адзінка i, квадрат якой роўны -1. Элементы палёў R і С можна прадставіць у выглядзе наступнай формулы:

• c = d + f х i, дзе d, f належаць полі R, а i - уяўная адзінка.

Каб атрымаць c з R ў дадзеным выпадку f проста лічаць роўным нулю, гэта значыць застаецца толькі дзейную частку лічбы. З-за таго што поле комплексных лікаў валодае тым жа наборам уласцівасцяў, што і поле сапраўдных, f х i = 0, калі f = 0.

Касаемо практычных адрозненняў, то, напрыклад, у поле R квадратнае раўнанне не вырашаецца, калі дискриминант адмоўны, тады як поле C не патрабуе ад яго падобнае абмежаванне дзякуючы ўвядзенні ўяўнай адзінкі i.

вынікі

"Цагліны" аксіём і пастулатаў, на якіх грунтуецца матэматыка, ня змяняюцца. На частку з іх у сувязі з павелічэннем інфармацыі і ўвядзеннем новых тэорый кладуцца наступныя "цагліны", якія ў перспектыве могуць стаць асновай для чарговага кроку. Напрыклад, натуральныя лікі, нягледзячы на тое што з'яўляюцца падмноствам сапраўднага поля R, не губляюць сваёй актуальнасці. Менавіта на іх грунтуецца ўся элементарная арыфметыка, з якой пачынаецца пазнанне чалавекам свету.

З практычнага пункту гледжання сапраўдныя лікі выглядаюць як прамая. На ёй можна выбраць кірунак, пазначыць пачатак адліку і крок. Прамая складаецца з бясконцага ліку кропак, кожнай з якіх адпавядае адзінае сапраўднае лік, па-за залежнасці ад таго, рацыянальнае яно ці не. З апісання ясна, што гаворка ідзе пра паняцце, на якім будуецца як матэматыка ў цэлым, так і матэматычны аналіз у прыватнасці.