Комплексныя чысла. Значэнне і эвалюцыя «ўяўных велічыняў»

Лікі - асноўныя матэматычныя аб'екты, неабходныя для розных вылічэнняў і разлікаў. Сукупнасць натуральных, цэлых, рацыянальных і ірацыянальных лічбавых значэнняў утварае мноства так званых сапраўдных лікаў. Але існуе яшчэ і досыць незвычайная катэгорыя - комплексныя чысла, пэўныя Рэнэ Дэкарт як «уяўныя велічыні». А адзін з вядучых матэматыкаў васемнаццатага стагоддзя Леанард Эйлер прапанаваў пазначаць іх літарай i ад французскага слова imaginare (ўяўны). Што ж такое комплексныя ліку?

Так называюцца выразы выгляду a + bi, у якім a і b з'яўляюцца сапраўднымі лікамі, а i ўяўляе сабой лічбавай паказчык асаблівага значэння, квадрат якога складае -1. Аперацыі над комплекснымі лікамі ажыццяўляюцца па тых жа правілах, што і розныя матэматычныя дзеянні над мнагачлена. Дадзеная матэматычная катэгорыя не выказвае вынікі якіх-небудзь вымярэнняў ці вылічэнняў. Для гэтага цалкам дастаткова сапраўдных лікаў. Для чаго ж тады яны ўвогуле патрэбныя?

Комплексныя чысла, як матэматычнае паняцце, неабходныя з-за таго, што некаторыя ўраўненні з сапраўднымі каэфіцыентамі не маюць рашэнні ў вобласці «звычайных» лікаў. Такім чынам, для пашырэння сферы рашэння няроўнасцей паўстала неабходнасць увядзення новай матэматычнай катэгорыі. Комплексныя чысла, якое мае галоўным чынам абстрактнае тэарэтычнае значэнне, дазваляюць вырашаць такія ўраўненні, як х ² +1 = 0. Варта заўважыць, што, нягледзячы на ўсю сваю ўяўную фармальнасць, гэтая катэгорыя лікаў досыць актыўна і шырока выкарыстоўваецца, напрыклад, для вырашэння розных практычных задач тэорыі пругкасці, электратэхнікі, аэро- і гідрамеханіка, атамнай фізікі і іншых навуковых дысцыплін.

Модуль і аргумент комплекснага ліку прымяняюцца пры пабудове графікаў. Такую форму запісу называюць трыганаметрычнай. Акрамя таго, геаметрычная інтэрпрэтацыя дадзеных лікаў яшчэ больш пашырыла сферу іх прымянення. Стала магчымым выкарыстоўваць іх для розных картаграфічных вылічэнняў.

Матэматыка прайшла доўгі шлях ад найпростых натуральных лікаў да складаных комплексных сістэм і іх функцый. На гэтую тэму можна напісаць асобны падручнік. Тут мы разгледзім толькі некаторыя эвалюцыйныя моманты тэорыі лікаў, каб сталі зразумелыя ўсе гістарычныя і навуковыя перадумовы з'яўлення дадзенай матэматычнай катэгорыі.

Старагрэцкая матэматыкамі лічыліся «сапраўднымі» выключна натуральныя лікі, якія можна выкарыстоўваць для падліку чаго-небудзь. Ужо ў другім тысячагоддзі да н. э. старажытнымі егіпцянамі і вавіланянамі ў разнастайных практычных разліках актыўна ўжываліся дробу. Наступнай важнай вяхой развіцця матэматыкі стала з'яўленне адмоўных лікаў у Старажытным Кітаі за дзвесце гадоў да нашай эры. Яны таксама ўжываліся старажытнагрэцкім матэматыкам Диофантом, якому былі вядомыя правілы найпростых аперацый над імі. Пры дапамозе адмоўных лікаў стала магчымым апісваць розныя змены велічынь не толькі ў станоўчай плоскасці.

У сёмым стагоддзі нашай эры было дакладна ўстаноўлена, што квадратныя карані станоўчых лікаў заўсёды маюць два значэння - акрамя станоўчага, яшчэ і адмоўнае. З апошняга выняць квадратны корань звычайнымі алгебраічнымі метадамі таго часу лічылася немагчымым: не існуе такога значэння х, каб х ² = ─ 9. Доўгі час гэта не мела асаблівага значэння. І толькі ў шаснаццатым стагоддзі, калі з'явіліся і сталі актыўна вывучацца кубічныя ўраўненні, паўстала неабходнасць здабывання квадратнага кораня з адмоўных лікаў, паколькі ў формуле для вырашэння дадзеных выразаў ўтрымліваюцца не толькі кубічныя, але яшчэ і квадратныя карані.

Такая формула безадмоўна, калі раўнанне мае не больш аднаго сапраўднага кораня. У выпадку ж наяўнасці ў раўнанні трох сапраўдных каранёў пры іх лячэнні атрымлівалася лік з адмоўным значэннем. Вось і выходзіла, што шлях да вымання трох каранёў пралягае праз немагчымую з пазіцый матэматыкі таго часу аперацыю.

Для тлумачэння атрыманага парадоксу італьянскім алгебраистом Дж. Кардана было прапанавана ўвесці новую катэгорыю лікаў незвычайнай прыроды, якія атрымалі назву комплексных. Цікава тое, што сам Кардана лічыў іх бескарыснымі і ўсяляк імкнуўся пазбегнуць прымянення ім жа прапанаванай матэматычнай катэгорыі. Але ўжо ў 1572 году з'явілася кніга іншага італьянскага алгебраиста Бомбелли, дзе былі падрабязна выкладзены правілы аперацый над комплекснымі лікамі.

На працягу ўсяго семнаццатага стагоддзя працягвалася абмеркаванне матэматычнай прыроды дадзеных лікаў і магчымасцяў іх геаметрычнага тлумачэння. Таксама паступова развівалася і ўдасканальвалася тэхніка працы з імі. І на рубяжы 17-га і 18-га стагоддзяў была створана агульная тэорыя комплексных лікаў. Найвелізарны ўклад у развіццё і ўдасканаленне тэорыі функцый комплексных зменных быў унесены рускімі і савецкімі навукоўцамі. Н. І. Мусхелишвили займаўся яе дадаткам да праблем тэорыі пругкасці, Келдыш і Лаўрэнцьеў знайшлі прымяненне комплексным чыслах ў галіне гідра- і аэрадынамікі, а Уладзіміраў і Багалюбаў - у квантавай тэорыі поля.