Сума кубоў і іх Розьніца: формулы скарочанага множання

Матэматыка - адна з тых навук, без якіх немагчыма існаванне чалавецтва. Практычна кожнае дзеянне, кожны працэс спалучаныя з выкарыстаннем матэматыкі і яе элементарных дзеянняў. Многія вялікія навукоўцы прыклалі велізарныя намаганні да таго, каб зрабіць дадзеную навуку простай і зразумелай. Розныя тэарэмы, аксіёмы і формулы дазваляюць вучням хутчэй ўспрымаць інфармацыю і прымяняць веды на практыцы. Пры гэтым большасць з іх памятаецца на працягу ўсяго жыцця.

Самымі зручнымі формуламі, якія дазваляюць студэнтам і школьнікам спраўляцца з гіганцкімі прыкладамі, дробамі, рацыянальнымі і ірацыянальнымі выразамі, з'яўляюцца формулы, у тым ліку і скарочанага множання:

1. сумы і рознасці кубоў :

s ³ - t ³ - рознасць;

k ³ + l ³ - сума.

2. формула куба сумы, а таксама куба рознасці:

(f + g) ³ і (h - d) ^3;

3. рознасці квадрата:

z ² - v ^2;

4. квадрат сумы:

(n + m) ² і т. д.

Формула сума кубоў з'яўляецца практычна самай складанай для запамінання і прайгравання. Віной таму чаргуюцца знакі ў яе расшыфроўцы. Іх няправільна пішуць, блытаючы з іншымі формуламі.

Сума кубоў раскрываецца наступным чынам:

k ³ + l ³ = (k + l) * (k ² - k * l + l ^2).

Другую частку ўраўненні часам блытаюць з квадратычным раўнаннем або раскрытым выразам квадрата сумы і дадаюць у другое складнік, а менавіта да «k * l» лік 2. Аднак формула сума кубоў раскрываецца толькі так. Давайце дакажам роўнасць правай і левай часткі.

Пойдзем ад зваротнага, гэта значыць, паспрабуем паказаць, што другая палова (k + l) * (k ² - k * l + l ²⁾ будзе раўняцца выразе k ³ + l ^3.

Раскрыем дужкі, перамнажаць складнікі. Для гэтага спачатку памнажаем «k» на кожны член другога выразы:

k * (k ² - k * l + k ²⁾ = k * l ² - k * (k * l) + k * (l ^2);

затым такім жа чынам вырабляем дзеянне з невядомым «l»:

l * (k ² - k * l + k ²⁾ = l * k ² - l * (k * l) + l * (l ^2);

спрашчаем атрыманае выраз формулы сума кубоў, раскрываем дужкі, і пры гэтым прыводзім падобныя складнікі:

(k ³ - k ² * l + k * l ²⁾ + (l * k ² - l ² * k + l ³ ) = K ³ - k ² l + kl ² + Lk ² - lk ² + l ³ = k ³ - k ² l + k ² l + kl ² - kl ² + l ³ = k ³ + l ^3.

Дадзены выраз раўняецца зыходнаму варыянту формулы сума кубоў, а гэта і патрабавалася паказаць.

Знойдзем доказ для выражэння s ³ - t ^3. Дадзеная матэматычная формула скарочанага множання мае назву рознасць кубоў. Раскрываецца яна наступным чынам:

s ³ - t ³ = (s - t) * (s ² + t * s + t ^2).

Аналагічным, як і ў папярэднім прыкладзе чынам дакажам адпаведнасць правай і левай частак. Для гэтага раскрыем дужкі, перамнажаць складнікі:

для невядомага «s»:

s * (s ² + s * t + t ²⁾ = (s ³ + s ² t + st ^2);

для невядомага «t»:

t * (s ² + s * t + t ²⁾ = (s ² t + st ² + t ^3);

пры пераўтварэнні і раскрыцці дужак дадзенай рознасці атрымліваецца:

s ³ + s ² t + st ² - s ² t - s ² t - t ³ = s ³ + s ² t- s ² t - st ² + st ² - t ³ = s ³ - t ³ - што і патрабавалася даказаць.

Для таго каб запомніць, якія знакі ставяцца пры расчынення падобнага выказвання, неабходна звярнуць увагу на знакі паміж складнікамі. Так, калі адно невядомае аддзеленае ад іншага матэматычным сімвалам «-», то ў першай дужках будзе стаяць мінус, а другі - два плюсы. Калі паміж кубамі размешчаны знак «+», то, адпаведна, першы множнік будзе ўтрымліваць плюс, а другі мінус, а затым плюс.

Гэта можна прадставіць у выглядзе невялікай схемы:

s ³ - t ³ → ( «мінус») * ( «плюс» «плюс»);

k ³ + l ³ → ( «плюс») * ( «мінус» «плюс»).

Разгледзім прыклад:

Дадзена выраз (w - 2) ³ + 8. Неабходна раскрыць дужкі.

рашэнне:

(w - 2) ³ + 8 можна прадставіць у выглядзе (w - 2) ³ + 2 ³

Адпаведна, як суму кубоў гэта выраз можна раскласці па формуле скарочанага множання:

(w - 2 + 2) * ((w - 2) ² - 2 * (w - 2) + 2 ^2);

Затым спрашчаем выраз:

w * (w ² - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w ² - 6w + 12) = w ³ - 6w ² + 12w.

Пры гэтым, першую частку (w - 2) ³ можна разглядаць таксама як куб рознасці:

(h - d) ³ = h ³ - 3 * h ² * d + 3 * h * d ² - d ^3.

Тады, калі раскрыць яе па дадзенай формуле, атрымаецца:

(w - 2) ³ = w ³ - 3 * w ² * 2 + 3 * w * 2 ² - 2 ³ = w ³ - 6 * w ² + 12w - 8.

Калі дадаць да яе другую частку першапачатковага прыкладу, а менавіта «+8», то вынік будзе наступным:

(w - 2) ³ + 8 = w ³ - 3 * w ² * 2 + 3 * w * 2 ² - 2 ³ + 8 = w ³ - 6 * w ² + 12w.

Такім чынам, мы знайшлі рашэнне дадзенага прыкладу двума спосабамі.

Неабходна памятаць, што залогам поспеху ў любой справе, у тым ліку і ў вырашэнні матэматычных прыкладаў, з'яўляюцца уседлівасць і ўважлівасць.