Шэрагі Фур'е: гісторыя і ўплыў матэматычнага механізму на развіццё навукі

Шэрагі Фур'е - гэта ўяўленне адвольна ўзятай функцыі з канкрэтным перыядам у выглядзе шэрагу. У агульным выглядзе дадзенае рашэнне называюць раскладаннем элемента па артаганальных базісу. Разлажэнне функцый у шэраг Фур'е з'яўляецца даволі магутным інструментарыем пры вырашэнні разнастайных задач дзякуючы уласцівасцях дадзенага пераўтварэння пры інтэграванні, дыферэнцыявання, а таксама зруху выразы па аргументу і скрутку.

Чалавек, не знаёмы з вышэйшай матэматыкай, а таксама з працамі французскага вучонага Фур'е, хутчэй за ўсё, не зразумее, што гэта за «шэрагі» і для чаго яны патрэбныя. А між тым дадзенае пераўтварэнне даволі шчыльна ўвайшло ў наша жыццё. Ім карыстаюцца не толькі матэматыкі, але і фізікі, хімікі, медыкі, астраномы, сейсмолагі, акіянограф і многія іншыя. Давайце і мы бліжэй пазнаёмімся з працамі вялікага французскага вучонага, які зрабіў адкрыццё, апярэдзіў свой час.

Чалавек і пераўтварэнне Фур'е

Шэрагі Фур'е з'яўляюцца адным з метадаў (разам з аналізам і іншымі) пераўтварэння Фур'е. Дадзены працэс адбываецца кожны раз, калі чалавек чуе які-небудзь гук. Наша вуха ў аўтаматычным рэжыме вырабляе пераўтварэнне гукавой хвалі. Вагальныя руху элементарных часціц у пругкім асяроддзі раскладваюцца ў шэрагі (па спектры) паслядоўных значэнняў ўзроўню гучнасці для тонаў рознай вышыні. Далей мозг ператварае гэтыя дадзеныя ў звыклыя для нас гукі. Усё гэта адбываецца акрамя нашага жадання ці свядомасці, само па сабе, а вось для таго каб зразумець гэтыя працэсы, спатрэбіцца некалькі гадоў вывучаць вышэйшую матэматыку.

Больш падрабязна аб пераўтварэнні Фур'е

Пераўтварэнне Фур'е можна праводзіць аналітычнымі, лічэбнікамі і іншымі метадамі. Шэрагі Фур'е ставяцца да лічэбнікаў спосабу раскладання любых вагальных працэсаў - ад акіянскіх прыліваў і светлавых хваляў да цыклаў сонечнай (і іншых астранамічных аб'ектаў) актыўнасці. Выкарыстоўваючы гэтыя матэматычныя прыёмы, можна разбіраць функцыі, прадстаўляючы любыя вагальныя працэсы ў якасці шэрагу сінусоідных складнікаў, якія пераходзяць ад мінімуму да максімуму і назад. Пераўтварэнне Фур'е з'яўляецца функцыяй, якая апісвае фазу і амплітуду сінусоід, адпаведных пэўнай частаце. Дадзены працэс можна выкарыстоўваць для вырашэння вельмі складаных ураўненняў, якія апісваюць дынамічныя працэсы, якія ўзнікаюць пад дзеяннем цеплавой, светлавой або электрычнай энергіі. Таксама шэрагі Фур'е дазваляюць выдзяляць пастаянныя складнікі ў складаных вагальных сігналах, дзякуючы чаму стала магчымым правільна інтэрпрэтаваць атрыманыя эксперыментальныя назірання ў медыцыне, хіміі і астраноміі.

Гістарычная даведка

Бацькам-заснавальнікам гэтай тэорыі з'яўляецца французскі матэматык Жан Батыст Жазеф Фур'е. Яго імем пасля і было названа дадзенае пераўтварэнне. Першапачаткова навуковец ужыў свой метад для вывучэння і тлумачэння механізмаў цеплаправоднасці - распаўсюджвання цяпла ў цвёрдых целах. Фур'е выказаў здагадку, што першапачатковае нерэгулярнае размеркаванне цеплавой хвалі можна раскласці на найпростыя сінусоіды, кожная з якіх будзе мець свой тэмпературны мінімум і максімум, а таксама сваю фазу. Пры гэтым кожная такая кампанента будзе вымярацца ад мінімуму да максімуму і назад. Матэматычная функцыя, якая апісвае верхнія і ніжнія пікі крывой, а таксама фазу кожнай з гарамонік, назвалі пераўтварэннем Фур'е ад выразы размеркавання тэмпературы. Аўтар тэорыі звёў агульную функцыю размеркавання, якая цяжка паддаецца матэматычнаму апісанні, да вельмі зручным ў звароце шэрагу перыядычных функцый косінуса і сінуса, у суме даюць зыходнае размеркаванне.

Прынцып пераўтварэння і погляды сучаснікаў

Сучаснікі вучонага - вядучыя матэматыкі пачатку дзевятнаццатага стагоддзя - не прынялі дадзеную тэорыю. Асноўным пярэчаннем паслужыла зацвярджэнне Фур'е аб тым, што разрыўную функцыю, якая апісвае прамую лінію або разрываецца крывую, можна прадставіць у выглядзе сумы сінусоідных выразаў, якія з'яўляюцца бесперапыннымі. У якасці прыкладу можна разгледзець «прыступку» Хевисайда: яе значэнне роўна нулю злева ад разрыву і адзінцы справа. Дадзеная функцыя апісвае залежнасць электрычнага току ад часовай зменнай пры замыканні ланцуга. Сучаснікі тэорыі на той момант ніколі не сутыкаліся з падобнай сітуацыяй, калі разрыўная выраз апісвалася б камбінацыяй бесперапынных, звычайных функцый, такіх як экспаненты, сінусоіда, лінейная або квадратычнай.

Што бянтэжыла французскіх матэматыкаў ў тэорыі Фур'е?

Бо калі матэматык быў у правоў у сваіх сцвярджэннях, то, сумуючы бясконцы трыганаметрычных шэраг Фур'е, можна атрымаць дакладнае ўяўленне ступеністага выразы нават у тым выпадку, калі яно мае мноства падобных прыступак. У пачатку дзевятнаццатага стагоддзя падобнае сцвярджэнне здавалася абсурдным. Але нягледзячы на ўсе сумненні, многія матэматыкі пашырылі сферу вывучэння дадзенага феномену, вывеўшы яго за межы даследаванняў цеплаправоднасці. Аднак большасць навукоўцаў працягвалі мучыцца пытаннем: "Ці можа сума сінусоіднага шэрагу сыходзіцца да дакладнага значэння разрыўной функцыі?"

Збежнасць шэрагаў Фур'е: прыклад

Пытанне аб збежнасці падымаецца кожны раз пры неабходнасці падсумоўвання бясконцых шэрагаў лікаў. Для разумення дадзенага феномену разгледзім класічны прыклад. Ці зможаце вы калі-небудзь дасягнуць сцены, калі кожны наступны крок будзе ўдвая менш папярэдняга? Выкажам здагадку, што вы знаходзіцеся ў двух метрах ад мэты, першы ж крок набліжае да адзнакі на палове шляху, наступны - да адзнакі ў тры чвэрці, а пасля пятага вы пераадолее амаль 97 адсоткаў шляху. Аднак колькі б вы крокаў ні зрабілі, вызначанай мэты вы не дасягніце ў строгай матэматычным сэнсе. Выкарыстоўваючы лікавыя разлікі, можна даказаць, што ў рэшце рэшт можна наблізіцца на калі заўгодна малое зададзеную адлегласць. Дадзенае доказ з'яўляецца эквівалентным дэманстрацыі таго, што сумарная значэнне адной другі, адной чацвёртай і т. Д. Будзе імкнуцца да адзінкі.

Пытанне збежнасці: другое прышэсце, або Прыбор лорда Кельвіна

Паўторна дадзенае пытанне падняўся ў канцы дзевятнаццатага стагоддзя, калі шэрагі Фур'е паспрабавалі ўжыць для прадказанні інтэнсіўнасці адліваў і прыліваў. У гэты час лордам Кельвіна быў вынайдзены прыбор, які ўяўляе сабой аналагавае вылічальная прылада, якое дазваляла маракам ваеннага і гандлёвага флоту адсочваць гэтая прыродная з'ява. Дадзены механізм вызначаў наборы фаз і амплітуд па табліцы вышыні прыліваў і адпаведных ім часовых момантаў, старанна замеренный ў дадзенай гавані на працягу года. Кожны параметр ўяўляў сабой сінусоідную кампаненту выразы вышыні прыліву і з'яўляўся адной з рэгулярных складнікаў. Вынікі вымярэнняў ўводзіліся ў вылічальны прыбор лорда Кельвіна, сінтэзуюцца крывую, якая прадказвала вышыню вады як часовую функцыю на наступны год. Вельмі хутка падобныя крывыя былі складзеныя для ўсіх гаваняў свету.

А калі працэс будзе парушаны разрыўной функцыяй?

У той час ўяўлялася відавочным, што прыбор, які прадказвае прыліўных хвалю, з вялікай колькасцю элементаў рахунку можа вылічыць вялікая колькасць фаз і амплітуд і так забяспечыць больш дакладныя прадказанні. Тым не менш аказалася, што дадзеная заканамернасць не выконваецца ў тых выпадках, калі прыліўныя выраз, якое варта сінтэзаваць, ўтрымлівала рэзкі скачок, то ёсць з'яўлялася разрыўнымі. У тым выпадку, калі ў прыладу ўводзяцца дадзеныя з табліцы часовых момантаў, то яно вырабляе вылічэнні некалькіх каэфіцыентаў Фур'е. Зыходная функцыя аднаўляецца дзякуючы сінусоідным кампанентаў (у адпаведнасці з знойдзенымі каэфіцыентамі). Разыходжанне паміж зыходным і адноўленым выразам можна вымяраць у любым пункце. Пры правядзенні паўторных вылічэнняў і параўнанняў відаць, што значэнне найбольшай памылкі не памяншаецца. Аднак яны локализируются ў вобласці, якая адпавядае кропцы разрыву, а ў любой іншай кропцы імкнуцца да нуля. У 1899 годзе гэты вынік быў тэарэтычна пацверджаны Джошуа Ўілард Гібс з Ельскага універсітэта.

Збежнасць шэрагаў Фур'е і развіццё матэматыкі ў цэлым

Аналіз Фур'е недастасоўны да выразамі, якія змяшчаюць бясконцая колькасць усплёскаў на пэўным інтэрвале. У агульным і цэлым шэрагі Фур'е, калі першапачатковая функцыя прадстаўлена вынікам рэальнага фізічнага вымярэння, заўсёды сыходзяцца. Пытанні збежнасці дадзенага працэсу для канкрэтных класаў функцый прывялі да з'яўлення новых падзелаў у матэматыцы, напрыклад тэорыі абагульненых функцый. Яна звязаная з такімі імёнамі, як Л. Шварц, Дж. Микусинский і Дж. Темпл. У рамках гэтай тэорыі была створана дакладная і дакладная тэарэтычная аснова пад такія выразы, як дэльта-функцыя Дирака (яна апісвае вобласць адзінай плошчы, сканцэнтраванай у бясконца малой наваколлі кропкі) і «прыступку» Хевисайда. Дзякуючы гэтай працы шэрагі Фур'е сталі дастасавальныя для вырашэння раўнанняў і задач, у якіх фігуруюць інтуітыўныя паняцці: кропкавы зарад, кропкавая маса, магнітныя дыполі, а таксама засяроджаная нагрузка на бэльцы.

метад Фур'е

Шэрагі Фур'е, у адпаведнасці з прынцыпамі інтэрферэнцыі, пачынаюцца з раскладання складаных формаў на больш простыя. Напрыклад, змена цеплавога патоку тлумачыцца яго праходжаннем скрозь розныя перашкоды з цеплаізалюючая матэрыялу няправільнай формы або змяненнем паверхні зямлі - землятрусам, зменай арбіты нябеснага цела - уплывам планет. Як правіла, падобныя ўраўненні, якія апісваюць простыя класічныя сістэмы, элементарна вырашаюцца для кожнай асобнай хвалі. Фур'е паказаў, што простыя рашэнні таксама можна падсумаваць для атрымання вырашэння больш складаных задач. Выяўляючыся мовай матэматыкі, шэрагі Фур'е - гэта методыка прадстаўлення выразы сумай гарамонік - косинусоид і сінусоід. Таму дадзены аналіз вядомы таксама пад імем «гарманічны аналіз".

Шэраг Фур'е - ідэальная методыка да «кампутарнай эпохі»

Да стварэння кампутарнай тэхнікі методыка Фур'е з'яўлялася лепшым зброяй у арсенале навукоўцаў пры працы з хвалевай прыродай нашага свету. Шэраг Фур'е ў комплекснай форме дазваляе вырашаць не толькі простыя задачы, якія паддаюцца прамому прымяненню законаў механікі Ньютана, але і фундаментальныя ўраўненні. Большасць адкрыццяў ньютоновской навукі дзевятнаццатага стагоддзя сталі магчымыя толькі дзякуючы методыцы Фур'е.

Шэрагі Фур'е сёння

З развіццём кампутараў пераўтварэння Фур'е падняліся на якасна новы ўзровень. Дадзеная методыка трывала замацавалася практычна ва ўсіх сферах навукі і тэхнікі. У якасці прыкладу можна прывесці лічбавай аўдыё-і відэасігнал. Яго рэалізацыя стала магчымай толькі дзякуючы тэорыі, распрацаванай французскім матэматыкам ў пачатку дзевятнаццатага стагоддзя. Так, шэраг Фур'е ў комплекснай форме дазволіў здзейсніць прарыў у вывучэнні касмічнай прасторы. Акрамя таго, гэта паўплывала на вывучэнне фізікі паўправадніковых матэрыялаў і плазмы, мікрахвалевай акустыкі, акіянаграфіі, радыёлакацыі, сейсмалогіі.

Трыганаметрычныя шэраг Фур'е

У матэматыцы шэраг Фур'е з'яўляецца спосабам прадстаўлення адвольных складаных функцый сумай больш простых. У агульных выпадках колькасць такіх выразаў можа быць бясконцым. Пры гэтым чым больш іх лік ўлічваецца пры разліку, тым дакладней атрымліваецца канчатковы вынік. Часцей за ўсё ў якасці найпростых выкарыстоўваюць трыганаметрычныя функцыі косінуса або сінуса. У такім выпадку шэрагі Фур'е называюць трыганаметрычнымі, а рашэнне такіх выразаў - раскладаннем гармонікі. Гэты метад гуляе важную ролю ў матэматыцы. Перш за ўсё, трыганаметрычныя шэраг дае сродкі для малюнка, а таксама вывучэння функцый, ён з'яўляецца асноўным апаратам тэорыі. Акрамя таго, ён дазваляе вырашаць шэраг задач матэматычнай фізікі. Нарэшце, дадзеная тэорыя спрыяла развіццю матэматычнага аналізу, выклікала да жыцця цэлы шэраг вельмі важных раздзелаў матэматычнай навукі (тэорыю інтэгралаў, тэорыю перыядычных функцый). Акрамя таго, паслужыла адпраўным пунктам для развіцця наступных тэорый: мностваў, функцый сапраўднага пераменнага, функцыянальнага аналізу, а таксама паклала пачатак гарманічнаму аналізу.