Дыферэнцыяльныя ўраўненні - агульная інфармацыя і сфера прымянення

Вывучаючы з'явы прыроды, вырашаючы разнастайныя задачы па эканоміцы, біялогіі, фізіцы, тэхніцы, не заўсёды ёсць магчымасць непасрэдна ўсталяваць прамую сувязь паміж нейкімі значэннямі, якія апісваюць той ці іншы эвалюцыйны працэс. Як правіла, можна вызначыць сувязь паміж гэтымі велічынямі (функцыямі) і хуткасцю іх змены ў адносінах да іншых (незалежным) пераменным. Пры гэтым узнікаюць ўраўненні, у якіх невядомыя функцыі стаяць пад знакам вытворнай - гэта дыферэнцыяльныя ўраўненні. На іх даследаванне патрацілі нямала часу мноства вядомых навукоўцаў: Ньютан, Бярнулі, Лаплас і іншыя. Прымяненне дыферэнцыяльных раўнанняў даволі шырока: у мадэлях эканамічнай дынамікі, дзе адлюстроўваюцца не толькі залежнасць зменных ў часе, але і іх ўзаемасувязь з часам, у задачах мікра- і макраэканомікі; з іх дапамогай апісваюць распаўсюджванне электрамагнітных і цеплавых хваль і розныя эвалюцыйныя з'явы, якія адбываюцца ў жывой і нежывой прыродзе.

Пры дапамозе электрамагнітных хваляў перадаецца інфармацыя на адлегласці (тэлебачанне, тэлефон, радыё і да таго падобнае). Сучасная макраэканоміка шырока выкарыстоўвае дыферэнцыяльныя і рознасныя ўраўненні. Напрыклад, у макраэканоміцы выкарыстоўваецца так званае асноўнае ДК неакласічнага тэорыі эканамічнага росту. Дыферэнцыяльныя ўраўненні таксама прымяняюцца ў біялогіі, хіміі, аўтаматыцы і іншых спецыяльных дысцыплінах. На малюнку паказаны графік функцыі, якая ўжываецца пры разглядзе павышэння росту насельніцтва. Гэтую задачу вырашаюць з дапамогай ДУ.

Такім чынам, цяпер пабольш тэорыі. Звычайным дыферэнцыяльным раўнаннем называюць нятоесныя суадносіны паміж шуканай функцыяй Y з адным незалежным аргументам Х, самай незалежнай зменнай Х і вытворнымі пошукавай функцыі некаторага парадку. Існуе мноства відаў дыферэнцыяльных раўнанняў, больш падрабязна аб якіх далей у артыкуле.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні бываюць:

1) Звычайныя ўраўненні І-га парадку, якія інтэгруюцца ў квадратах. Гэтыя, у сваю чаргу, дзеляцца на: дыферэнцыяльныя ўраўненні з аддзяляемымі зменнымі; ДК з аддзеленымі зменнымі; аднастайныя ДК; лінейныя ДК; ўраўненні ў поўных дыферэнцыялам.

2) ДК вышэйшых парадкаў.

3) Лінейныя ДК ІІ-га парадку, якія бываюць лінейнымі аднароднымі ДК ІІ-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і лінейнымі неаднародным ДК з пастаяннымі каэфіцыентамі.

Вырашаюцца ДК таксама некалькімі спосабамі, найбольш распаўсюджаныя з якіх - задача Кашы, метады Эйлера і Бярнулі і іншыя.

У многіх задачах эканомікі, матэматыкі, тэхнікі неабходна вылічыць нейкае колькасць функцый, звязаных між сабой некаторай колькасцю ДК. Тады нам на дапамогу прыходзяць сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў: сукупнасць раўнанняў, у кожнае з якіх уваходзяць незалежная зменная, функцыі гэтай незалежнай і іх вытворныя.

Калі сістэма лінейная адносна невядомых функцый, то яна называецца лінейнай сістэмай дыферэнцыяльных раўнанняў. Нармальную сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў можна замяніць адным ДК, парадак якога роўны колькасці раўнанняў сістэмы.

Пераўтварэнне сістэмы ДК да аднаго раўнанні ў некаторых выпадках здзяйсняецца пры дапамозе метаду выключэння.

Акрамя ўсяго вышэйпералічанага, існуюць і лінейныя сістэмы з нязменнымі каэфіцыентамі, якія лёгка вырашаюцца па метадзе Эйлера.