Кампактнае мноства

Кампактнае мноства ўяўляе сабой пэўны тапалагічная прастору, у пакрыцці якога знаходзіцца канчатковае подпокрытие. Кампактныя прасторы ў тапалогіі па сваіх уласцівасцях могуць нагадваць сістэму канчатковых мностваў ў адпаведнай тэорыі.

Кампактнае мноства або кампакт - падмноства тапалагічнага прасторы, якое з'яўляецца індукаваным тыпам кампактнага прасторы.

Адносна кампактным (предкомпактным) мноства з'яўляецца толькі ў выпадку наяўнасці кампактнага замыкання. Пры вылучэнні ў прасторы збежных падпаслядоўнасці яно можа называцца секвенциально кампактным.

Кампактнае мноства валодае пэўнымі ўласцівасцямі:

- кампакт з'яўляецца ладам любога бесперапыннага адлюстравання;

- замкнёнае падмноства заўсёды мае кампактнасць;

- бесперапыннае ўзаемна адназначнае адлюстраванне, якое вызначана на кампакце, адносіцца да гомеоморфизму.

Прыкладамі кампактнага мноства з'яўляюцца:

- абмежаваныя і замкнёныя мноства Rn;

- канчатковыя падмноства у прасторах, якія задавальняюць аксіоме дзялімасці Т1;

- тэарэма Асколі-Арцела, якая характарызуе кампактнае мноства для пэўных функцыянальных прастор;

- прастора Стоўна, які адносіцца да булевай алгебры;

- компактификация тапалагічнага прасторы.

Разглядаючы ўніверсальнае мноства з пазіцыі матэматыкі, можна сцвярджаць, што гэта мноства, якое змяшчае сукупнасць элементаў з канкрэтнымі ўласцівасцямі. Нароўні з разгледжаным паняццем існуе яшчэ гіпатэтычнае мноства, якое ўключае ў сябе разнастайныя кампаненты. Аднак яго ўласцівасці супярэчаць самой сутнасці мноства.

У сферы элементарнай арыфметыкі ўніверсальнае мноства прадстаўлена сукупнасцю цэлых лікаў. Аднак асаблівая роля належыць гэтаму мноству ў тэорыі мноства.

Мноства натуральных лікаў ўключае набор элементаў (лікаў), якія могуць узнікнуць натуральным чынам падчас рахунку. Існуе два падыходу пры вызначэнні натуральных лікаў:

- пералік прадметаў (першы, другі і г.д.);

- колькасць прадметаў (адзін, два і да т.п.).

Пры гэтым розныя не цэлыя і адмоўныя цэлыя да натуральнага тыпу лікаў не ставяцца. У матэматычнай сферы мноства натуральных лікаў пазначаецца N. Дадзенае паняцце з'яўляецца бясконцым, дзякуючы наяўнасці для любога ліку натуральнага тыпу іншага натуральнага ліку, большага чым першае.

У адрозненне ад натуральных, цэлыя лікі атрымліваюцца ў выніку ажыццяўлення такіх матэматычных аперацый над натуральнымі лікамі, як складанне або адніманне. Мноства цэлых лікаў у матэматыцы пазначаецца Z. Па выніках аднімання, складання і множання двух лікаў цэлага тыпу будзе лік толькі такога ж тыпу. Неабходнасць з'яўлення дадзенага тыпу лікаў абумоўлена адсутнасцю магчымасці вызначыць рознасць двух натуральных лікаў. Менавіта Міхаэлем Штифелем ўведзены ў матэматыку адмоўныя лікі.

Патрабуе пільнай увагі разгляду такога паняцця, як бикомпактное прастору. Дадзены тэрмін уведзены П.С. Аляксандравым для ўзмацнення паняцці кампактнага прасторы, уведзенага ў матэматыку М. фреш. У першапачатковым разуменні прастору тапалагічнага тыпу кампактна ў выпадку наяўнасці канчатковага подпокрытия ў кожным адкрытым пакрыцці. Пры наступным развіцці матэматыкі тэрмін бикомпактность стаў на парадак вышэй, чым яго найнізкі аналаг. І ў цяперашні час менавіта бикомпактность разумеюць пад кампактнасцю, а стары сэнс названага тэрміна заключаецца ў назве "лічыльна-кампактныя». Аднак абодва паняцці з'яўляюцца раўнасільна пры выкарыстанні ў метрычных прасторах.