Што такое інтэграл, і які яго фізічны сэнс

Узнікненне паняцця інтэграла было абумоўлена неабходнасцю знаходжання первообразной функцыі па яе вытворнай, а таксама вызначэння велічыні працы, плошчы складаных фігур, адлегласці пройдзенага шляху, пры параметрах, акрэсленых крывымі, які апісвае нелінейнымі формуламі.

з курс а фізікі вядома, што праца роўная твору сілы на адлегласць. Калі ўвесь рух адбываецца з пастаяннай хуткасцю або адлегласць пераадольваецца з дадаткам адной і той жа сілы, то ўсё зразумела, трэба іх проста перамнажаць. Што такое інтэграл ад канстанты? Гэта лінейная функцыя выгляду y = kx + c.

Але сіла на працягу працы можа мяняцца, прычым у нейкі заканамернай залежнасці. Такая ж сітуацыя ўзнікае і з вылічэннем пройдзенай адлегласці, калі хуткасць нясталая.

Такім чынам, зразумела, для чаго патрэбен інтэграл. Вызначэнне яго як сумы твораў значэнняў функцыі на бясконца малое прырашчэнне аргументу цалкам апісвае галоўны сэнс гэтага паняцця як плошча фігуры, абмежаванай зверху лініяй функцыі, а па краях - межамі вызначэння.

Жан Гастон Дарбу, французскі матэматык, у другой палове XIX стагоддзя вельмі наглядна патлумачыў, што такое інтэграл. Ён зрабіў гэта настолькі зразумела, што ў цэлым разабрацца ў гэтым пытанні не складзе працы нават школьніку малодшых класаў сярэдняй школы.

Дапусцім, ёсць функцыя любой складанай формы. Вось ардынат, на якой адкладаюцца значэння аргументу, разбіваецца на невялікія інтэрвалы, у ідэале яны бясконца малыя, але так як паняцце бясконцасці даволі абстрактна, то дастаткова ўявіць сабе проста невялікія адрэзкі, велічыню якіх звычайна пазначаюць грэцкай літарай Δ (дэльта).

Функцыя апынулася «нарэзанай» на маленькія цаглінкі.

Кожнаму значэнню аргументу адпавядае кропка на восі ардынат, на якой адкладаюцца адпаведныя значэнні функцыі. Але так як межаў у вылучанага ўчастка дзве, то і значэнняў функцыі таксама будзе два, большае і меншае.

Сума твораў вялікіх значэнняў на прырашчэнне Δ называецца вялікай сумай Дарбу, і пазначаецца як S. Адпаведна, меншыя на абмежаваным участку значэння, памножаныя на Δ, усе разам утвараюць малую суму Дарбу s. Сам ўчастак нагадвае прастакутную трапецыю, так як крывізной лініі функцыі пры бясконца малым яе прырашчэнне можна занядбаць. Самы просты спосаб знайсці плошча такой геаметрычнай фігуры - гэта скласці творы большага і меншага значэння функцыі на Δ-прырашчэнне і падзяліць на два, то ёсць вызначыць як сярэдняе арыфметычнае.

Вось што такое інтэграл па Дарбу:

s = Σf (x) Δ - малая сума;

S = Σf (x + Δ) Δ - вялікая сума.

Такім чынам, што такое інтэграл? Плошчу, абмежаваная лініяй функцыі і межамі вызначэння будзе роўная:

∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

Гэта значыць сярэдняе арыфметычнае вялікай і малой сум Дарбу.с - велічыня пастаянная, обнулять пры дыферэнцыявання.

Зыходзячы з геаметрычнага выразы гэтага паняцця, становіцца зразумелы і фізічны сэнс інтэграла. Плошча фігуры, акрэсленая функцыяй хуткасці, і абмежаваная часовым інтэрвалам па восі абсцыс, будзе складаць даўжыню пройдзенага шляху.

L = ∫f (x) dx на прамежку ад t1 да t2,

дзе

f (x) - функцыя хуткасці, то ёсць формула, па якой яна мяняецца ў часе;

L - даўжыня шляху;

t1 - час пачатку шляху;

t2 - час заканчэння шляху.

Сапраўды па такім жа прынцыпе вызначаецца велічыня працы, толькі па абсцыс будзе адкладацца адлегласць, а па ардынаце - велічыня сілы, прыкладаемая ў кожнай канкрэтнай кропцы.