Асноўнае паняцце тэорыі верагоднасці. Законы тэорыі верагоднасці

Многія, сутыкнуўшыся з паняццем «тэорыя верагоднасці», палохаюцца, думаючы, што гэта нешта непасільны, вельмі складанае. Але ўсё на самай справе не так трагічна. Сёння мы разгледзім асноўнае паняцце тэорыі верагоднасці, навучымся вырашаць задачы на канкрэтных прыкладах.

навука

Што ж вывучае такі раздзел матэматыкі, як «тэорыя верагоднасці»? Яна адзначае заканамернасці выпадковых падзей і велічынь. Упершыню дадзеным пытаннем зацікавіліся навукоўцы яшчэ ў васемнаццатым стагоддзі, калі вывучалі азартныя гульні. Асноўнае паняцце тэорыі верагоднасці - падзея. Гэта любы факт, які канстатуецца вопытам або назіраннем. Але што ж такое досвед? Яшчэ адно асноўнае паняцце тэорыі верагоднасці. Яно азначае, што гэты склад абставінаў створаны не выпадкова, а з пэўнай мэтай. Што тычыцца назірання, то тут даследчык сам не ўдзельнічае ў вопыце, а проста з'яўляецца сведкам дадзеных падзей, ён ніяк не ўплывае на тое, што адбываецца.

падзеі

Мы даведаліся, што асноўнае паняцце тэорыі верагоднасці - гэта падзея, але не разгледзелі класіфікацыю. Усе яны дзеляцца на наступныя катэгорыі:

• Дакладныя.
• Немагчымыя.
• Выпадковыя.

Незалежна ад таго, якія гэта падзеі, за якімі назіраюць або ствараюць у ходзе вопыту, усе яны схільныя дадзенай класіфікацыі. Прапануем з кожным з відаў пазнаёміцца асобна.

пэўнае падзея

Гэта такое акалічнасць, перад якім зроблены неабходны комплекс мерапрыемстваў. Для таго каб лепш паглыбіцца ў сутнасць, лепш прывесці некалькі прыкладаў. Гэтаму закону падпарадкаваныя і фізіка, і хімія, і эканоміка, і вышэйшая матэматыка. Тэорыя верагоднасці ўключае такое важнае паняцце, як пэўнае падзея. Прывядзём прыклады:

• Мы працуем і атрымліваем ўзнагароду ў выглядзе заработнай платы.
• Здалі добра экзамены, прайшлі конкурс, за гэта атрымліваем ўзнагароду ў выглядзе паступлення ў навучальную ўстанову.
• Мы ўклалі грошы ў банк, калі трэба атрымаем іх назад.

Такія падзеі з'яўляюцца дакладнымі. Калі мы выканалі ўсе неабходныя ўмовы, то абавязкова атрымаем чаканы вынік.

немагчымыя падзеі

Зараз мы разглядаем элементы тэорыі верагоднасці. Прапануем перайсці да тлумачэння наступнага выгляду падзеі, а менавіта - немагчымага. Для пачатку агаворым самае важнае правіла - верагоднасць немагчымага падзеі роўная нулю.

Ад дадзенай фармулёўкі нельга адступаць пры рашэнні задач. Для тлумачэнні прывядзем прыклады такіх падзей:

• Вада змерзла пры тэмпературы плюс дзесяць (гэта немагчыма).
• Адсутнасць электраэнергіі ніяк не ўплывае на вытворчасць (гэтак жа немагчыма, як і ў папярэднім прыкладзе).

Больш прыкладаў прыводзіць не варта, так як апісаныя вышэй вельмі ярка адлюстроўваюць сутнасць дадзенай катэгорыі. Немагчымае падзея ніколі не адбудзецца падчас вопыту ні пры якіх абставінах.

выпадковыя падзеі

Вывучаючы элементы тэорыі верагоднасці, асаблівая ўвага варта надаць менавіта гэтаму віду падзеі. Менавіта іх і вывучае дадзеная навука. У выніку вопыту можа нешта адбыцца ці не. Акрамя гэтага, выпрабаванне можа праводзіцца неабмежаваную колькасць разоў. Яркімі прыкладамі могуць служыць:

• Кідок манеты - гэта вопыт, альбо выпрабаванне, выпадзенне арла - гэта падзея.
• Выцягванне мячыка з мяшка ўсляпую - выпрабаванне, трапіўся чырвоны шар - гэта падзея і гэтак далей.

Такіх прыкладаў можа быць неабмежаваная колькасць, але, увогуле, сутнасць павінна быць зразумелая. Для абагульнення і сістэматызаваны атрыманых ведаў пра падзеі прыведзена табліца. Тэорыя верагоднасці вывучае толькі апошні выгляд з усіх прадстаўленых.

законы

Тэорыя верагоднасці - гэта навука, якая вывучае магчымасць выпадзення якога-небудзь падзеі. Як і іншыя, яна мае некаторыя правілы. Існуюць наступныя законы тэорыі верагоднасці:

• Збежнасць паслядоўнасцяў выпадковых велічынь.
• Закон вялікіх лікаў.

Пры разліку магчымасці складанага можна выкарыстоўваць комплекс простых падзей для дасягнення выніку больш лёгкім і хуткім шляхам. Адзначым, што законы тэорыі верагоднасці лёгка даказваюцца з дапамогай некаторых тэарэм. Прапануем для пачатку пазнаёміцца з першым законам.

Збежнасць паслядоўнасцяў выпадковых велічынь

Адзначым, што відаў збежнасці некалькі:

• Паслядоўнасць выпадковых велічынь збежнасці па верагоднасці.
• Амаль немагчымае.
• Сярэднеквадратычнае збежнасць.
• Збежнасць па размеркаванні.

Так, з лёту, вельмі цяжка ўглыбіцца ў сутнасць. Прывядзём вызначэння, якія дапамогуць разабрацца ў гэтай тэме. Для пачатку першы выгляд. Паслядоўнасць называюць збежнасці па верагоднасці, калі выканана наступнае ўмова: n імкнецца да бясконцасці, лік, да якога імкнецца паслядоўнасць, больш за нуль і набліжаная да адзінкі.

Пераходзім да наступнага ўвазе, амаль напэўна. Кажуць, што паслядоўнасць сыходзіцца амаль напэўна да выпадковай велічыні пры n, якая імкнецца да бясконцасці, і Р, якая імкнецца да велічыні, набліжанай да адзінкі.

Наступны тып - гэта збежнасць сярэднеквадратычнае. Пры выкарыстанні СК-збежнасці вывучэнне вектарных выпадковых працэсаў зводзіцца да вывучэння іх каардынатных выпадковых працэсаў.

Застаўся апошні тып, давайце разбярэм коратка і яго, каб пераходзіць непасрэдна да вырашэння задач. Збежнасць па размеркаванні мае і яшчэ адна назва - «слабое», далей растлумачым, чаму. Слабая збежнасць - гэта збежнасць функцый размеркавання ва ўсіх кропках бесперапыннасці лімітавай функцыі размеркавання.

Абавязкова выканаем абяцанне: слабая збежнасць адрозніваецца ад усіх вышэйпералічаных тым, што выпадковая велічыня не вызначана на імавернасным прасторы. Гэта магчыма таму, што ўмова фармуецца выключна з выкарыстаннем функцый размеркавання.

Закон вялікіх лікаў

Выдатнымі памочнікамі пры доказе дадзенага закона стануць тэарэмы тэорыі верагоднасці, такія як:

• Няроўнасць Чебышева.
• Тэарэма Чебышева.
• Абагульненая тэарэма Чебышева.
• Тэарэма Маркава.

Калі будзем разглядаць усе гэтыя тэарэмы, то гэта пытанне можа зацягнуцца на некалькі дзясяткаў лістоў. У нас жа асноўная задача - гэта прымяненне тэорыі верагоднасці на практыцы. Прапануем вам прама зараз гэтым і заняцца. Але перад гэтым разгледзім аксіёмы тэорыі верагоднасцяў, яны будуць асноўнымі памочнікамі пры рашэнні задач.

аксіёмы

З першай мы ўжо пазнаёміліся, калі гаварылі пра немагчымы падзеі. Давайце ўспамінаць: верагоднасць немагчымага падзеі роўная нулю. Прыклад мы прыводзілі вельмі яркі і запамінальны, выпаў снег пры тэмпературы паветра трыццаць градусаў па Цэльсіі.

Другая гучыць наступным чынам: пэўнае падзея адбываецца з верагоднасцю, роўнай адзінцы. Цяпер пакажам, як гэта запісаць з дапамогай матэматычнага мовы: Р (У) = 1.

Трэцяя: Выпадковае падзея можа адбыцца ці не, але магчымасць заўсёды вар'іруецца ў межах ад нуля да адзінкі. Чым бліжэй значэнне да адзінкі, тым шанцаў больш; калі значэнне набліжаецца да нуля, верагоднасць вельмі малая. Запішам гэта матэматычным мовай: 0 <Р (С) <1.

Разгледзім апошнюю, чацвёртую аксіёму, якая гучыць так: верагоднасць сумы двух падзей раўняецца суме іх верагоднасцяў. Запісваем матэматычным мовай: Р (А + У) = Р (А) + Р (У).

Аксіёмы тэорыі верагоднасцяў - гэта самыя простыя правілы, якія не складзе працы запомніць. Паспрабуем вырашыць некаторыя задачы, абапіраючыся на ўжо атрыманыя веды.

латарэйны білет

Для пачатку разгледзім найпросты прыклад - латарэя. Уявіце, што вы купілі адзін латарэйны білет на поспех. Якая верагоднасць, што вы выйграеце не менш за дваццаць рублёў? Усяго ў тыражы ўдзельнічае тысяча білетаў, адзін з якіх мае прыз у пяцьсот рублёў, дзесяць па сто рублёў, пяцьдзесят па дваццаць рублёў, а сто - па пяць. Задачы па тэорыі верагоднасці заснаваныя на тым, каб знайсці магчымасць ўдачы. Зараз разам разбяром рашэнне вышэй прадстаўленага задання.

Калі мы літарай А пазначым выйгрыш у пяцьсот рублёў, то верагоднасць выпадзення А будзе раўняцца 0,001. Як мы гэта атрымалі? Проста неабходна колькасць "шчаслівых" білетаў падзяліць на агульная іх колькасць (у дадзеным выпадку: 1/1000).

В - гэта выйгрыш у сто рублёў, верагоднасць будзе раўняцца 0,01. Зараз мы дзейнічалі па тым жа прынцыпе, што і ў мінулым дзеянні (10/1000)

З - выйгрыш роўны дваццаці рублям. Знаходзім верагоднасць, яна складае 0,05.

Астатнія квіткі нас не цікавяць, бо іх прызавы фонд менш зададзенага ва ўмове. Выкарыстоўваецца і ў дачыненні чацвёртую аксіёму: Верагоднасць выйграць не менш за дваццаць рублёў складае Р (А) + Р (У) + Р (С). Літарай Р пазначаецца верагоднасць паходжання гэтай падзеі, мы ў папярэдніх дзеяннях ўжо іх знайшлі. Засталося толькі скласці неабходныя дадзеныя, у адказе мы атрымліваем 0,061. Гэты лік і будзе з'яўляцца адказам на пытанне задання.

картачная калода

Задачы па тэорыі верагоднасці бываюць і больш складанымі, для прыкладу возьмем наступнае заданне. Перад вамі калода з трыццаці шасці карт. Ваша задача - выцягнуць дзве карты запар, не змешваючы стос, першая і другая карты павінны быць тузами, масць значэння не мае.

Для пачатку знойдзем верагоднасць таго, што першая карта будзе тузом, для гэтага чатыры дзелім на трыццаць шэсць. Адклалі яго ў бок. Дастаем другую карту, гэта будзе туз з верагоднасцю тры трыццаць пятых. Верагоднасць другога падзеі залежыць ад таго, якую карту мы выцягнулі першай, нам цікава, быў гэта туз ці не. З гэтага вынікае, што падзея У залежыць ад падзеі А.

Наступным дзеяннем знаходзім верагоднасць адначасовага ажыццяўлення, гэта значыць перамнажаюцца А і В. Іх твор знаходзіцца наступным чынам: верагоднасць аднаго падзеі памнажаем на ўмоўную верагоднасць іншага, якую мы вылічаем, мяркуючы, што першае падзея адбылася, то ёсць першай картай мы выцягнулі туз.

Для таго каб стала ўсё зразумела, дамо абазначэнне такому элементу, як умоўная верагоднасць падзеі. Вылічаецца яна, мяркуючы, што падзея А адбылося. Разлічваецца наступным чынам: Р (У / А).

Працягнем рашэнне нашай задачы: Р (А _* У) = Р (А) _* Р (У / А) або Р (А _* У) = Р (У) _* Р (А / У). Верагоднасць складае (4/36) _* ((3/35) / (4/36). Вылічаем, акругляючы да сотых. Мы маем: 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. Верагоднасць таго, што мы выцягнем два туза запар, роўная дзевяці сотым. Значэнне вельмі мала, з гэтага вынікае, што і верагоднасць паходжання падзеі вельмі малая.

забыты нумар

Прапануем разабраць яшчэ некалькі варыянтаў заданняў, якія вывучае тэорыя верагоднасці. Прыклады рашэння некаторых з іх вы ўжо бачылі ў дадзеным артыкуле, паспрабуем вырашыць наступную задачу: хлопчык забыўся апошнюю лічбу нумара тэлефона свайго сябра, але так як званок быў вельмі важны, то пачаў набіраць усё па чарзе. Нам неабходна вылічыць верагоднасць таго, што ён патэлефануе не больш за тры разы. Рашэнне задачы найпростае, калі вядомыя правілы, законы і аксіёмы тэорыі верагоднасці.

Перад тым як глядзець рашэнне, паспрабуйце вырашыць самастойна. Нам вядома, што апошняя лічба можа быць ад нуля да дзевяці, гэта значыць усяго дзесяць значэнняў. Верагоднасць набраць патрэбную складае 1/10.

Далей нам трэба разглядаць варыянты паходжання падзеі, выкажам здагадку, што хлопчык адгадаў і адразу набраў патрэбную, верагоднасць такой падзеі складае 1/10. Другі варыянт: першы званок промах, а другі ў мэта. Разлічым верагоднасць такой падзеі: 9/10 памнажаем на 1/9, у выніку атрымліваем таксама 1/10. Трэці варыянт: першы і другі званок апынуліся не па адрасе, толькі з трэцяга хлопчык трапіў туды, куды хацеў. Вылічаем верагоднасць такой падзеі: 9/10 памнажаем на 8/9 і на 1/8, атрымліваем у выніку 1/10. Іншыя варыянты па ўмове задачы нас не цікавяць, па гэтым нам засталося скласці атрыманыя вынікі, у выніку мы маем 3/10. Адказ: верагоднасць таго, што хлопчык патэлефануе не больш за тры разы, раўняецца 0,3.

Карткі з лікамі

Перад вамі дзевяць картак, на кожнай з якіх напісана лік ад аднаго да дзевяці, лічбы не паўтараюцца. Іх паклалі ў скрынку і старанна перамяшалі. Вам неабходна разлічыць верагоднасць таго, што

• выпадзе цотная колькасць;
• двухзначны.

Перад тым як пераходзіць да вырашэння, агаворым, што m - гэта лік удалых выпадкаў, а n - гэта агульная колькасць варыянтаў. Знойдзем верагоднасць таго, што лік будзе цотных. Не складзе працы палічыць, што цотных лікаў чатыры, гэта і будзе наша m, усяго магчыма дзевяць варыянтаў, то ёсць m = 9. Тады верагоднасць складае 0,44 або 4/9.

Разглядаем другі выпадак: колькасць варыянтаў дзевяць, а удалых зыходаў быць наогул не можа, гэта значыць m раўняецца нулю. Верагоднасць таго, што выцягнутая картка будзе змяшчаць двухзначны лік, гэтак жа раўняецца нулю.