Гіпотэза Рымана. Размеркаванне простых лікаў

У 1900 годзе адзін з найвялікшых вучоных мінулага стагоддзя Давід Гільберт склаў спіс, які складаецца з 23 нявырашаных праблем матэматычнай навукі. Праца над імі аказала каласальны ўплыў на развіццё гэтай галіне чалавечага веды. Праз 100 гадоў Матэматычны інстытут Клэя прадставіў спіс з 7 праблем, вядомых як задачы тысячагоддзя. За рашэнне кожнай з іх была прапанаваная прэмія ў 1 мільён долараў.

Адзінай задачай, якая трапіла ў спіс абодвух пералікаў галаваломак, ужо не адно стагоддзе якія не даюць спакою навукоўцам, стала гіпотэза Рымана. Яна яшчэ чакае свайго рашэння.

Кароткая біяграфічная даведка

Георг Фрыдрых Бернхард Рыма нарадзіўся ў 1826 годзе ў Гановеры, у шматдзетнай сям'і беднага пастара, і пражыў усяго 39 гадоў. Яму ўдалося апублікаваць 10 прац. Аднак ужо пры жыцці Рыма лічыўся пераемнікам свайго настаўніка Іагана Гаўса. У 25 гадоў малады вучоны абараніў дысертацыю «Падставы тэорыі функцый комплекснай зменнай». Пазней ён сфармуляваў сваю гіпотэзу, якая стала знакамітай.

простыя лікі

Матэматыка з'явілася, калі чалавек навучыўся лічыць. Тады ж паўсталі першыя ўяўленні аб ліках, якія пазней паспрабавалі класіфікаваць. Было заўважана, што некаторыя з іх валодаюць агульнымі ўласцівасцямі. У прыватнасці, сярод натуральных лікаў, т. Е. Такіх, якія выкарыстоўваліся пры падліку (нумарацыі) або пазначэнні колькасці прадметаў, была выдзелена група такіх, якія дзяліліся толькі на адзінку і на саміх сябе. Іх назвалі простымі. Вытанчанае доказ тэарэмы бясконцасці мноства такіх лікаў даў Еўклід ў сваіх «Пачатках». На дадзены момант працягваецца іх пошук. У прыватнасці, самым вялікім з ужо вядомых з'яўляецца лік 2 ^{74 207 281} - 1.

формула Эйлера

Нароўні з паняццем аб бясконцасці мноства простых лікаў Еўклід вызначыў і другую тэарэму аб адзіна магчымым раскладанні на простыя множнікі. Згодна з ёй любы цэлае станоўчае лік з'яўляецца творам толькі аднаго набору простых лікаў. У 1737 годзе вялікі нямецкі матэматык Леанард Эйлер выказаў першую тэарэму Еўкліда аб бясконцасці ў выглядзе формулы, прадстаўленай ніжэй.

Яна атрымала назву дзета-функцыі, дзе s - канстанта, а p прымае ўсе простыя значэння. З яе наўпрост вынікала і зацвярджэнне Еўкліда аб адзінасці раскладання.

Дзета-функцыя Рымана

Формула Эйлера пры бліжэйшым разглядзе з'яўляецца цалкам дзіўнай, бо задае стаўленне паміж простымі і цэлымі лікамі. Бо ў яе левай частцы перамнажаюцца бясконца шмат выразаў, якія залежаць толькі ад простых, а ў правай размешчана сума, звязаная з усімі цэлымі станоўчымі лікамі.

Рыма пайшоў далей Эйлера. Для таго каб знайсці ключ да праблемы размеркавання лікаў, ён прапанаваў вызначыць формулу як для сапраўднай, так і для комплекснай зменнай. Менавіта яна пасля атрымала назву дзета-функцыі Рыма. У 1859 году навуковец апублікаваў артыкул пад загалоўкам «Пра колькасць простых лікаў, якія не перавышаюць зададзенай велічыні», дзе абагульніў ўсе свае ідэі.

Рыма прапанаваў выкарыстоўваць шэраг Эйлера, збежных для любых сапраўдных s> 1. Калі тую ж формулу ўжываюць для комплексных s, то шэраг будзе сыходзіцца пры любых значэннях гэтай зменнай з сапраўднай часткай больш 1. Рыма ужыў працэдуру аналітычнага працягу, пашырыўшы вызначэнне zeta (s) на ўсе комплексныя чысла, але «выкінуўшы» адзінку. Яна была выключаная, таму што пры s = 1 дзета-функцыя ўзрастае ў бясконцасць.

практычны сэнс

Узнікае заканамернае пытанне: чым цікавая і важная дзета-функцыя, якая з'яўляецца ключавой у працы Рымана аб нулявой гіпотэзы? Як вядома, на дадзены момант не выяўлена просты заканамернасці, якая б апісвала размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Риману атрымалася выявіць, што лік pi (x) простых лікаў, якія не перавышалi x, выяўляецца з дапамогай размеркавання нетрывіяльных нулёў дзета-функцыі. Больш за тое, гіпотэза Рымана з'яўляецца неабходным умовай для доказу часовых адзнак працы некаторых крыптаграфічных алгарытмаў.

гіпотэза Рымана

Адна з першых фармулёвак гэтай матэматычнай праблемы, ня даказанай і па гэты дзень, гучыць так: нетрывіяльныя 0 дзета-функцыі - комплексныя чысла з сапраўднай часткай роўнай ½. Іншымі словамі яны размешчаны на прамой Re s = ½.

Існуе таксама абагульненая гіпотэза Рымана, якая ўяўляе сабой той жа зацвярджэнне, але для абагульненняў дзета-функцый, якія прынята называць L-функцыямі Дирихле (гл. Фота ніжэй).

У формуле χ (n) - некаторы лікавы характар (па модулю k).

Римановское зацвярджэнне лічыцца так званай нулявы гіпотэзай, бо была праверана на ўзгодненасць з ужо наяўнымі выбарачнымі дадзенымі.

Як разважаў Рыма

Заўвагу нямецкага матэматыка першапачаткова было сфармулявана дастаткова нядбайна. Справа ў тым, што на той момант навуковец збіраўся даказаць тэарэму аб размеркаванні простых лікаў, і ў гэтым кантэксце дадзеная гіпотэза не мела асаблівага значэння. Аднак яе ролю пры вырашэнні многіх іншых пытанняў велізарная. Менавіта таму здагадка Рымана на дадзены момант шматлікімі навукоўцамі прызнаецца найважнейшай з недаказаных матэматычных праблем.

Як ужо было сказана, для доказу тэарэмы аб размеркаванні поўная гіпотэза Рымана не патрэбна, і досыць лагічна абгрунтаваць, што сапраўдная частка любога нетрывіяльнага нуля дзета-функцыі знаходзіцца ў прамежку ад 0 да 1. З гэтага ўласцівасці вынікае, што сума па ўсіх 0-м дзета-функцыі, якія фігуруюць у дакладнай формуле, прыведзенай вышэй, - канчатковая канстанта. Для вялікіх значэнняў x яна наогул можа згубіцца. Адзіным членам формулы, які застанецца нязменным нават пры вельмі вялікіх x, з'яўляецца сам x. Астатнія складаныя складнікі ў параўнанні з ім асімптатычна знікаюць. Такім чынам, ўзважаная сума імкнецца да x. Гэтая акалічнасць можна лічыць пацвярджэннем праўдзівасці тэарэмы аб размеркаванні простых лікаў. Такім чынам, у нулёў дзета-функцыі Рыма з'яўляецца асаблівая роля. Яна заключаецца ў тым, каб даказаць, што такія значэння не могуць унесці істотнага ўкладу ў формулу раскладання.

паслядоўнікі Рымана

Трагічная смерць ад туберкулёзу не дазволіла гэтаму навукоўцу давесці да лагічнага канца сваю праграму. Аднак ад яго прынялі эстафету Ш-Ж. дэ ла Валле Пусэн і Жак Адамар. Незалежна адзін ад аднаго імі была выведзена тэарэма аб размеркаванні простых лікаў. Адамару і Пуссену удалося даказаць, што ўсе нетрывіяльныя 0 дзета-функцыі знаходзяцца ў межах крытычнай паласы.

Дзякуючы працы гэтых навукоўцаў з'явіўся новы кірунак у матэматыцы - аналітычная тэорыя лікаў. Пазней іншымі даследчыкамі было атрымана некалькі больш прымітыўных доказаў тэарэмы, над якой працаваў Рыма. У прыватнасці, Пал Эрдеш і Атле Сельберг адкрылі нават якая пацвярджае яе вельмі складаную лагічны ланцужок, не патрабавалую выкарыстання комплекснага аналізу. Аднак да гэтага моманту праз ідэю Рымана ўжо было даказана некалькі важных тэарэм, уключаючы апраксімацыю многіх функцый тэорыі лікаў. У сувязі з гэтым новая праца Эрдеша і Атле Сельберга практычна ні на што не паўплывала.

Адно з самых простых і прыгожых доказаў праблемы было знойдзена ў 1980 годзе Дональдам Ньюманом. Яно было заснавана на вядомай тэарэме Кашы.

Ці пагражае римановская гіпотэза асновам сучаснай крыптаграфіі

Шыфраванне дадзеных паўстала разам з з'яўленнем іерогліфаў, дакладней, яны самі па сабе могуць лічыцца першымі кодамі. На дадзены момант існуе цэлы кірунак лічбавай крыптаграфіі, якое займаецца распрацоўкай алгарытмаў шыфравання.

Простыя і «полупростые» колькасці, т. Е. Такія, якія дзеляцца толькі на 2 іншых колькасці з гэтага ж класа, ляжаць у аснове сістэмы з адчыненым ключом, вядомай як RSA. Яна мае вельмі шырокае прымяненне. У прыватнасці, выкарыстоўваецца пры генераванні электроннай подпісы. Калі казаць у тэрмінах, даступных «чайнікам», гіпотэза Рымана сцвярджае існаванне сістэмы ў размеркаванні простых лікаў. Такім чынам, значна зніжаецца ўстойлівасць крыптаграфічных ключоў, ад якіх залежыць бяспека онлайн-транзакцый у сферы электроннай камерцыі.

Іншыя нявырашаныя матэматычныя праблемы

Скончыць артыкул варта, прысвяціўшы некалькі слоў іншым задачам тысячагоддзя. Да іх ліку адносяцца:

• Роўнасць класаў P і NP. Задача фармулюецца так: калі станоўчы адказ на тое ці іншае пытанне правяраецца за паліномны час, то ці дакладна, што і сам адказ на гэтае пытанне можна знайсці хутка?
• Гіпотэза Ходжа. Простымі словамі яе можна сфармуляваць так: для некаторых тыпаў праектыўных алгебраічных шматстатнасцяў (прастор) цыклы Ходжа з'яўляюцца камбінацыямі аб'ектаў, якія маюць геаметрычную інтэрпрэтацыю, т. Е. Алгебраічных цыклаў.
• Гіпотэза Пуанкаре. Гэта адзіная з даказаных на дадзены момант задач тысячагоддзя. Згодна з ёй любой 3-мерны аб'ект, які валодае канкрэтнымі ўласцівасцямі 3-мернай сферы, абавязаны з'яўляцца сферай з дакладнасцю да дэфармацыі.
• Зацвярджэнне квантавай тэорыі Янга - Мілс. Патрабуецца даказаць, што квантавая тэорыя, высунутая гэтымі навукоўцамі для прасторы R ^4, існуе і мае 0-й дэфект масы для любой простай калібровачнае кампактнай групы G.
• Гіпотэза Берч - Свиннертон-Дайер. Гэта яшчэ адна праблема, якая мае дачыненне да крыптаграфіі. Яна тычыцца элиптических крывых.
• Праблема аб існаванні і гладкасці рашэнняў ураўненняў Навье - Стокса.

Зараз вам вядомая гіпотэза Рымана. Простымі словамі мы сфармулявалі і некаторыя з іншых задач тысячагоддзя. Тое, што яны будуць вырашаны небудзь будзе даказана, што яны не маюць рашэнні, - гэта пытанне часу. Прычым наўрад ці гэтага прыйдзецца чакаць занадта доўга, так як матэматыка усё больш выкарыстоўвае вылічальныя магчымасці кампутараў. Аднак не ўсе падуладна тэхніцы, і для вырашэння навуковых праблем перш за ўсё патрабуецца інтуіцыя і творчы падыход.