Перыметр квадрата знаходзім самымі рознымі спосабамі

Часам перад чалавекам паўстае ўшчыльную неабходнасць знайсці перыметр квадрата. Напрыклад, трэба зрабіць агароджу вакол квадратнага ўчастка, абклеіць шпалерамі квадратны пакой або аформіць люстэркамі сцены квадратнага танцавальнай залы. Каб вылічыць колькасць неабходнага матэрыялу, трэба зрабіць спецыяльныя разлікі. І вось тут-то, не ведаючы, як знаходзіць перыметр квадрата, давядзецца набываць матэрыял "на вочка". Добра, калі гэта будуць недарагія шпалеры, а вось лішнія люстэрка куды потым падзець? Ды і пры недахопе матэрыялу потым даволі цяжка падабраць дадатковы такога ж якасці.

Такім чынам, як даведацца, чаму роўны перыметр квадрата? Мы ведаем, што ў квадрата ўсе бакі роўныя. І калі перыметр - гэта сума ўсіх бакоў шматкутніка, то перыметр квадрата можна запісаць, як (q + q + q + q), дзе q - велічыня, якая пазначае даўжыню аднаго боку квадрата. Натуральна, што зручней за ўсё тут скарыстацца памнажэннем. Такім чынам, перыметр квадрата - гэта учетверённая велічыня, якая адпавядае даўжыні яго боку або 4q, дзе q - бок.

Але калі вядомая толькі плошча квадрата, перыметр якога трэба даведацца - як паступіць у гэтым выпадку? І тут усё вельмі проста! З вядомай лічбы, якой выказана плошчу квадрата, трэба вырабіць выманне квадратнага кораня. Такім чынам будзе знойдзеная велічыня боку квадрата. Зараз шукаць перыметр квадрата трэба па выведзенай вышэй формуле.

Іншае пытанне, калі трэба знайсці перыметр квадрата па яго дыяганалі. Тут варта ўспомніць тэарэму Піфагора. Разгледзім квадрат WERT з дыяганаллю WR. WR падзяліла квадрат на два прастакутных роўнабаковага трыкутніка. Калі вядомая даўжыня дыяганалі (умоўна прымем яе за z, а бок - за u), то велічыню боку квадрата трэба шукаць, зыходзячы з формулы: квадрат z роўны падвоенаму квадрату u, адкуль робіцца выснова: u роўная квадратнага пні, вынятыя з паловы квадрата гіпатэнузы . Далей ужо павялічваем атрыманы вынік у 4 разы - вось вам і перыметр квадрата!

Знайсці бок квадрата можна па радыусе упісанай у яго акружнасці. Бо ўпісаная акружнасць датыкаецца да ўсіх бакоў квадрата, адкуль робіцца выснова - дыяметр акружнасці раўняецца даўжыні боку квадрата. А дыяметр - гэта вядома ўсім - падвоены радыус.

Калі вядомы радыус або дыяметр акружнасці, апісанай вакол квадрата, то тут мы бачым, што ўсе 4 вяршыні квадрата размяшчаюцца на акружнасці. Значыць, дыяметр апісанай акружнасці роўны даўжыні дыяганалі квадрата. Прыняўшы гэтае становішча як дадзенасць, далей варта вылічваць перыметр па формуле знаходжання перыметра па яго дыяганалі, разгледжанай вышэй.

Часам прапануецца задача, у якой трэба пазнаць, які перыметр квадрата, які з'яўляецца упісаным у роўнабаковы прастакутны трыкутнік такім чынам, што адзін кут квадрата супадае з прамым вуглом трыкутніка. Вядомай з'яўляецца катэт дадзенай геаметрычнай фігуры. Абазначым трохкутнік як WER, дзе вяршыня Е з'яўляецца агульнай.

Упісаны квадрат будзе мець абазначэнне ETYU. Бок ET ляжыць на баку WE, а бок EU - на баку ER. Вяршыня Y ляжыць на гіпатэнузе WR. Разглядаючы далей чарцёж, можна зрабіць высновы:

1. WTY - роўнабаковы трохкутнік, так як па ўмове WER - роўнабаковы, значыць, кут EWR роўны 45 градусам, і атрыманы трохкутнік - прастакутны з кутом пры падставе таксама 45 градусаў, што дазваляе нам сцвярджаць яго роўнабаковы. Адсюль выцякае, што WT = TY.
2. TY = ET як бакі квадрата.
3. Згодна з гэтым жа алгарытме, выводзім наступнае: YU = UR, а UR = EU.
4. Боку трохвугольніка можна прадставіць як суму адрэзкаў. EW = ET + TW, а ER = EU + UR.
5. Замяніўшы роўныя адрэзкі, выводзім: EW = ET + TY, а ER = EU + UY.
6. Калі перыметр упісанага квадрата выяўляецца формулай (ET + TY) + (EU + UY), то па-іншаму гэта можна запісаць, маючы на ўвазе толькі што выведзеныя значэння бакоў трохвугольніка, як EW + ER. Гэта значыць перыметр упісанага ў прастакутны трыкутнік квадрата з супадальным прамым вуглом будзе роўны суме яго катэт.

Гэта, вядома, не ўсе варыянты вылічэнні перыметра квадрата, а толькі найбольш часта сустракаемыя. Але ўсе яны грунтуюцца на тым, што перыметр чатырохкутніка - гэта сумаванага значэнне ўсіх яго бакоў. І ад гэтага нікуды не дзецца!