Як знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка

Часам пытанне, як знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка, ўстае не толькі перад школьнікамі ці студэнтамі, але і ў рэальным, практычным жыцці. Напрыклад, падчас будаўніцтва ўзнікае неабходнасць аздаблення фасаднай часткі, якая знаходзіцца пад дахам. Як вылічыць колькасць патрэбнага матэрыялу?

Часта з падобнымі задачамі сутыкаюцца майстры, якія працуюць з тканінай або скурай. Бо многія дэталі, якія трэба будзе выштукаваць майстру, маюць як раз форму роўнабаковага трыкутніка.

Такім чынам, існуе некалькі спосабаў, якія дапамагаюць знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка. Першы - вылічэнне яе па падставе і вышыні.

Для вырашэння нам неабходна пабудаваць для нагляднасці трохкутнік MNP з падставай MN і вышынёй PO. Цяпер тое-сёе дабудуем ў чарцяжы: з кропкі P правесці лінію, паралельную падставы, а з пункту M - лінію, паралельную вышыні. Кропку перасячэння назавем Q. Каб даведацца, як знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка, трэба разгледзець атрыманы чатырохкутніка MOPQ, у якім бакавыя бок дадзенага нам трыкутніка MP з'яўляецца ўжо яго дыяганаллю.

Дакажам спачатку, што гэта прастакутнік. Так як мы будавалі яго самі, то ведаем, што бакі MO і OQ раўналежныя. І боку QM і OP таксама раўналежныя. Кут POM прамой, значыць і кут OPQ таксама прамы. Такім чынам, атрыманы чётырёхугольник мае прастакутную форму. Знайсці яго плошча не складзе працы, яна роўная твору PO на OM. OM - гэта палова падставы дадзенага трыкутніка MPN. Адсюль выцякае, што плошча пабудаванага намі прамавугольніка роўная полупроизведению вышыні прастакутнага трыкутніка на яго падстава.

Другім этапам пастаўленай перад намі задачы, як вызначыць плошчу трохвугольніка, з'яўляецца доказ таго факту, што атрыманы намі прастакутнік па плошчы адпавядае дадзеным роўнабаковага трыкутніка, гэта значыць, што плошча трохвугольніка таксама роўная полупроизведению падставы і вышыні.

Параўнаем для пачатку трохкутнік PON і PMQ. Яны абодва прастакутныя, так як прамы кут у адным з іх утвораны вышынёй, а прамы кут у адным з'яўляецца вуглом прамавугольніка. Гіпатэнузы ў іх з'яўляюцца бакамі роўнабаковага трыкутніка, такім чынам, таксама роўныя. Катэты PO і QM таксама роўныя як паралельныя боку прамавугольніка. Значыць, і плошча трохвугольніка PON, і трыкутніка PMQ роўныя паміж сабой.

Плошчу прамавугольніка QPOM роўная плошчах трыкутнікаў PQM і MOP у суме. Замяніўшы надбудаваным трохкутнік QPM трохвугольнікам PON, атрымліваем у суме дадзены нам для вываду тэарэмы трохкутнік. Цяпер мы ведаем, як знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка па падставе і вышыні - вылічыць іх полупроизведение.

Але можна даведацца, як знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка па падставе і бакавы баку. Тут таксама існуе два варыянты: тэарэма Герона і Піфагора. Разгледзім рашэнне з ужываннем тэарэмы Піфагора. Для прыкладу возьмем той жа роўнабаковы трохкутнік PMN з вышынёй PO.

У прамавугольным трохвугольніку POM MP - гіпатэнуза. Яе квадрат роўны суме квадратаў PO і OM. А так як OM - палова падставы, якое нам вядома, то мы лёгка можа знайсці OM і ўзвесці лік у квадрат. Вырабячы адніманне з квадрата гіпатэнузы атрыманы лік, даведаемся, чаму роўны квадрат іншага катэта, які ў роўнабаковага трыкутніка з'яўляецца вышынёй. Знайшоўшы квадратны корань з рознасці і даведаўшыся вышыню прастакутнага трыкутніка, можна даць адказ на пастаўленае перад намі заданне.

Трэба проста перамнажаць вышыню на падставу і атрыманы вынік падзяліць папалам. Чаму менавіта так варта паступаць, мы патлумачылі ў першым варыянце доказы.

Бывае, што трэба зрабіць вылічэнні па бакавіцы і куце. Тады знаходзім вышыню і падстава, выкарыстоўваючы формулу з сінуса і косінуса, і, зноў жа, перамнажаюцца іх і дзелім вынік напалову.