Пераклад з двайковай ў дзесятковую - усё проста

Фраза пра тое, што ўсё новае - гэта не што іншае, як добра забытае старое, у поўнай меры ставіцца да двайковай сістэме злічэння. Аказваецца, што яшчэ ў старажытным Кітаі ўжо ўжывалі нешта, якое нагадвае нашы «адзінка-нулік», праўда, не для арыфметыкі, а для напісання тэкстаў кнігі Пераменаў. Бліжэй за ўсіх да разумення розных сістэм злічэння былі інкі: яны выкарыстоўвалі і дзесятковы, і двойкавую сістэмы, праўда, апошнюю толькі для тэкставых і Кадаваць паведамленняў. Можна меркаваць, што ўжо тады, 4 тыс. Гадоў таму, інкі ведалі, як робіцца пераклад з двайковай ў дзесятковую сістэму.

Сучасны варыянт двайковай сістэмы быў прапанаваны Лейбніцам усяго-то каля 300 гадоў таму, а праз яшчэ паўтара стагоддзя Джордж Буль пакінуў сваё імя ў памяці нашчадкаў працай па алгебры логікі. Двайковая арыфметыка сумесна з алгебрай логікі стала падмуркам цяперашняй лічбавай тэхнікі. А пачалося ўсё ў 1937 годзе, калі быў прапанаваны метад сімвалічнага аналізу рэлейных і переключательных схем. Гэтая праца Клода Шенона стала «мамай» для рэлейнага кампутара, які выконваў двайковае складанне ўжо ў 1937 годзе. І, вядома ж, адной з задач гэтага «прадзедаў» сучасных кампутараў быў пераклад з двайковай ў дзесятковую сістэму.

Прайшло ўсяго тры гады і чарговая мадэль рэлейнага «кампутара» пасылала каманды калькулятар комплексных лікаў, выкарыстоўваючы тэлефонную лінію і тэлетайп - ну прама старажытны інтэрнэт у дзеянні.

Што ж уяўляюць сабой двайковая, дзесятковая, шаснаццатковы і, наогул кажучы, любая N-ичная сістэма? Ды нічога складанага. Возьмем трохзначны лік у нашай любімай дзесятковай сістэме, яно малюецца пры дапамозе 10 знакаў - ад 0 да 9 з улікам іх размяшчэння. Вызначымся, што лічбы гэтага ліку знаходзяцца на пазіцыях 0, 1, 2 (парадак ідзе ад апошняй лічбы да першай). На кожнай з пазіцый можа знаходзіцца любое з лікаў сістэмы, аднак велічыня гэтага ліку вызначаецца не толькі яго напісаннем, але і месцам становішча. Напрыклад, для ліку 365 (адпаведна, пазіцыя 0 - лічба 5, пазіцыя 1 - лічба 6, і пазіцыя 2 - лічба 3) значэнне чысла на нулявы пазіцыі - проста 5, на першай пазіцыі - 6 * 10, і на другі - 3 * 10 * 10. Тут цікава, што пачынаючы з першай пазіцыі, лік ўтрымлівае значныя лічбу (ад 0 да 9) і падстава сістэмы ў ступені роўнай нумары пазіцыі, г.зн. можна запісаць, што 345 = 3 * 10 * 10 + 6 * 10 +3 = 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100.

Яшчэ прыклад:

260974 = 2 * 105 + 6 * 104 + 0 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 4 * 100.

Як бачым, кожнае пазіцыйнае месца ўтрымлівае значнае лік з набору дадзенай сістэмы, і множнік з заснавання сістэмы ў ступені роўнай пазіцыі дадзенага ліку (разраднасць колькасці гэта значыць колькасць пазіцый, але на +1 больш).

З пункту гледжання прадстаўлення колькасці, яго двайковая форма бянтэжыць сваёй прастатой - толькі 2 чысла ў сістэме - 0 і 1. Але прыгажосць матэматыкі ў тым, што нават ва ўсечаным выглядзе, як можа здацца, двайковыя лікі такія ж паўнавартасныя і раўнапраўныя, як і іх больш «рослыя таварышы». Але як жа іх параўноўваць, напрыклад, з дзесятковым лікам? Як варыянт, трэба зрабіць, і не спяшаючыся, пераклад з двайковай сістэмы злічэння ў дзесятковы. Задачу не назавеш цяжкай, але гэтая карпатлівая праца патрабуе ўвагі. Такім чынам, пачнем.

Зыходзячы са сказанага вышэй аб парадку прадстаўлення лікаў у любой сістэме, і маючы на ўвазе найпростую з іх - двойкавую, возьмем любую паслядоўнасць «адзінак-нулікі». Назавем гэты лік VO (па-руску ВА), і паспрабуем даведацца, што гэта такое - пераклад з двайковай ў дзесятковую сістэму. Хай гэта будзе VO = 11001010010. На першы погляд, лік як лік. Паглядзім!

У першым радку размесцім сам лік ў расцягнутым выглядзе, а другую распішам як суму кожнай пазіцыі ў выглядзе сомножителей - значнай лічбы (тут выбар невялікі - 0 або 1) і колькасці 2 у ступені, роўнай пазіцыйнай ліку ў дзесятковай сістэме, мы ж робім пераклад з двайковай ў дзесятковы. Цяпер у другім радку трэба проста выканаць вылічэнні. Для нагляднасці можна дапісаць яшчэ і трэці радок з прамежкавымі вылічэннямі.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1 * 210 + 1 * 29 + 0 * 28 + 0 * 27 + 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20;

VO = 1 * 1024 + 1 * 512 + 0 * 256 + 0 * 128 + 1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1.

Вылічаем «арыфметыку" ў трэцяй радку і маем тое, што шукалі: VO = 1618. Ну і што ж тут выдатнага? А тое, што гэты лік - самы знакаміты з усіх, якія вядомыя людзям: з ім звязаны прапорцыі егіпецкіх пірамід, знакамітай Джаконды, музычных нот і чалавечага цела, але ... Але з невялікім удакладненнем - ведаючы, што добрага павінна быць шмат, яго вялікасць выпадак даў нам гэты лік ў 1000 разоў больш сапраўднага значэння - 1,618. Напэўна, каб усім дасталася. А адначасна пераклад з двайковай сістэмы ў дзесятковую дапамог з бясконцага мора лікаў «вылавіць» самае выдатнае - яго яшчэ называюць «залатая прапорцыя".