Вытворная сінуса кута роўная косінус таго ж вугла

Дана найпростая функцыя трыганаметрыі у = Sin (х), яна дыферэнцыруемых у кожнай сваёй пункце з усёй вобласці вызначэння. Неабходна даказаць, што вытворная сінуса любога аргументу роўная косінус таго ж вугла, то ёсць у '= Cos (х).

Доказ грунтуецца на вызначэнні вытворнай функцыі

Задамо х (адвольнае) у некаторай малой наваколлі Δх канкрэтнай пункту х _0. Пакажам значэнне функцыі ў ёй і ў пункце х, каб знайсці прырашчэнне зададзенай функцыі. Калі Δх - прырашчэнне аргументу, то новы аргумент - гэта х ₀ + Δx = х, значэнне дадзенай функцыі пры зададзеным значэнні аргументу у (х) роўна Sin (х ₀ + Δx), значэнне функцыі ў канкрэтнай кропцы у (х ₀₎ таксама вядома .

Цяпер маем Δу = Sin (х ₀ + Δх) -Sin (х ₀₎ - атрыманае прырашчэнне функцыі.

Па формуле сінуса сумы двух неаднолькавых кутоў будзем ператвараць рознасць Δу.

Δу = Sin (х ₀₎ · Cos (Δх) + Cos (х ₀₎ · Sin (Δx) мінус Sin (х ₀₎ = (Cos (Δx) -1) · Sin (х ₀₎ + Cos (х ₀₎ · Sin (Δх).

Выканалі перастаноўку складнікаў, згрупавалі першае з трэцім Sin (х _0), вынеслі агульны множнік - сінус - за дужкі. Атрымалі ў выразе рознасць Cos (Δх) -1. Засталося змяніць знак перад дужкай і ў дужках. Ведаючы, чаму роўна 1-Cos (Δх), зробім замену і атрымаем спрошчанае выраз Δу, якое затым падзелім на Δх.
Δу / Δх будзе мець выгляд: Cos (х ₀₎ · Sin (Δх) / Δх-2 · Sin ² (0,5 · Δх) · Sin (х ₀₎ / Δх. Гэта і ёсць стаўленне прырашчэння функцыі да дапушчэнняў прырашчэнню аргументу.

Засталося знайсці мяжа атрыманага намі адносіны lim пры Δх, які імкнецца да нуля.

Вядома, што мяжа Sin (Δх) / Δx роўны 1, пры дадзеным ўмове. А выраз 2 · Sin ² (0,5 · Δх) / Δх ў атрыманым прыватным падвядзем пераўтварэннямі да твору, які змяшчае ў якасці множніка першы выдатны мяжа: лічнік і знеменатель дробу падзелім на 2, квадрат сінуса заменім творам. Вось так:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Мяжа гэтага выказвання пры Δх, якія імкнуцца да нуля, будзе роўны ліку нуль (1 памножыць на 0). Выходзіць, што мяжа адносіны Δy / Δх роўны Cos (х ₀₎ · 1-0, гэта і ёсць Cos (х _0), выраз, якое не залежыць ад Δх, які імкнецца да 0. З гэтага вынікае выснова: вытворная сінуса любога кута х роўная косінус х, запішам так: у '= Cos (х).

Атрыманая формула занесена ў вядомую табліцу вытворных, дзе сабраны ўсе элементарныя функцыі

Пры вырашэнні задач, дзе сустракаецца вытворная сінуса, можна карыстацца правіламі дыферэнцыявання і гатовымі формуламі з табліцы. Напрыклад: знайсці вытворную найпростай функцыі у = 3 · Sin (х) -15. Скарыстаемся элементарнымі правіламі дыферэнцыявання, вынасу лікавага множніка за знак вытворнай, і вылічэнні вытворнай пастаяннага ліку (яна роўная нулю). Выкарыстоўваецца і ў дачыненні таблічныя значэнне вытворнай сінуса кута х, роўнае Cos (х). Атрымліваем адказ: y '= 3 · Cos (x) -O. Гэтая вытворная, у сваю чаргу, таксама з'яўляецца элементарнай функцыяй у = З · Cos (х).

Вытворная сінуса ў квадраце ад любога аргументу

Пры вылічэнні дадзенага выказвання (Sin ² (х)) 'неабходна ўспомніць, як дыферэнцуецца складаная функцыя. Такім чынам, у = Sin ² (х) - з'яўляецца спаважнаю функцыяй, так як сінус ў квадраце. Аргументам яе з'яўляецца таксама трыганаметрычныя функцыя, складаны аргумент. Вынік у гэтым выпадку роўны твору, першы множнік якога вытворная квадрата дадзенага складанага аргументу, а другі - вытворная ад сінуса. Вось як выглядае правіла дыферэнцыявання функцыі ад функцыі: (u (v (х))) 'роўная (u (v (х)))' · (v (х)) '. Выраз v (х) - складаны аргумент (ўнутраная функцыя). Калі дадзена функцыя "Ігрэк роўны сінуса ў квадраце х", то вытворная гэтай складанай функцыі будзе ў '= 2 · Sin (х) · Cos (x). У творы першы падвоены множнік - вытворная вядомай спаважнаю функцыі, а Cos (х) - вытворная сінуса, аргументу складанай квадратычнай функцыі. Канчатковы вынік можна пераўтварыць, скарыстаўшыся трыганаметрычнай формулай сінуса падвойнага кута. Адказ: вытворная роўная Sin (2 · x). Гэтая формула лёгка запамінаецца, ёю часта карыстаюцца як таблічнай.