Сярэднеўзважанай значэнне - што гэта і як яго вылічыць?

У працэсе вывучэння матэматыкі школьнікі знаёмяцца з паняццем сярэдняга арыфметычнага. У далейшым у статыстыцы і некаторых іншых навуках студэнты сутыкаюцца і з вылічэннем іншых сярэдніх значэнняў. Якімі яны могуць быць і чым адрозніваюцца адзін ад аднаго?

Сярэднія велічыні: сэнс і адрозненні

Не заўсёды дакладныя паказчыкі даюць разуменне сітуацыі. Для таго каб ацаніць тую ці іншую абстаноўку, трэба часам аналізаваць велізарная колькасць лічбаў. І тады на дапамогу прыходзяць сярэднія значэння. Менавіта яны дазваляюць ацаніць сітуацыю ў агульным і цэлым.

Са школьных часоў многія дарослыя памятаюць пра існаванне сярэдняга арыфметычнага. Яго вельмі проста вылічыць - сума паслядоўнасці з n членаў дзеліцца на n. То бок, калі трэба вылічыць сярэдняе арыфметычнае ў паслядоўнасці значэнняў 27, 22, 34 і 37, то неабходна вырашыць выраз (27 + 22 + 34 + 37) / 4, паколькі ў разліках выкарыстоўваецца 4 значэння. У дадзеным выпадку шуканая велічыня будзе роўная 30.

Часта ў рамках школьнага курсу вывучаюць і сярэдняе геаметрычнае. Разлік дадзенага значэння грунтуецца на выманні кораня n-най ступені з твора n-членаў. Калі браць тыя ж ліку: 27, 22, 34 і 37, то вынік вылічэнняў будзе роўны 29,4.

Сярэдняе гарманічнае ў агульнаадукацыйнай школе звычайна не з'яўляецца прадметам вывучэння. Тым не менш яно выкарыстоўваецца даволі часта. Гэтая велічыня адваротная сярэдняму арыфметычным і разлічваецца як прыватная ад n - колькасці значэнняў і сумы 1 / a ₁ + 1 / a ₂ + ... + 1 / a _n. Калі зноў браць той жа шэраг лікаў для разліку, то гарманічнае складзе 29,6.

Сярэднеўзважанай значэнне: асаблівасці

Аднак усе вышэйпералічаныя велічыні могуць быць выкарыстаны не ўсюды. Напрыклад, у статыстыцы пры разліку некаторых сярэдніх значэнняў важную ролю мае "вага" кожнага колькасці, які выкарыстоўваецца ў вылічэннях. Вынікі з'яўляюцца больш паказальнымі і карэктнымі, паколькі ўлічваюць больш інфармацыі. Гэтая група велічынь носіць агульную назву "сярэднеўзважанай значэнне". Іх у школе не праходзяць, таму на іх варта спыніцца падрабязней.

Перш за ўсё, варта распавесці, што маецца на ўвазе пад "вагой" таго ці іншага значэння. Прасцей за ўсё растлумачыць гэта на канкрэтным прыкладзе. Два разы на дзень у лякарні адбываецца замер тэмпературы цела ў кожнага пацыента. З 100 хворых у розных аддзяленнях шпіталя у 44 будзе нармальная тэмпература - 36,6 градусаў. У яшчэ 30 будзе падвышанае значэнне - 37,2, у 14 - 38, у 7 - 38,5, у 3 - 39, і ў двух астатніх - 40. І калі браць сярэдняе арыфметычнае, то гэтая велічыня ўвогуле па бальніцы будзе складаць больш за 38 градусаў! А бо амаль у паловы пацыентаў цалкам нармальная тэмпература. І тут карэктней будзе выкарыстоўваць сярэднеўзважанай значэнне, а "вагой" кожнай велічыні будзе колькасць людзей. У гэтым выпадку вынікам разліку будзе 37,25 градусаў. Розніца відавочная.

У выпадку сярэднеўзважаных разлікаў за "вага" можа быць прынята колькасць адгрузак, колькасць працуючых у той ці іншы дзень людзей, увогуле, усё што заўгодна, што можа быць вымераць і паўплываць на канчатковы вынік.

разнавіднасці

Сярэднеўзважанай значэнне суадносіцца з сярэднім арыфметычным, разгледжаным у пачатку артыкула. Аднак першая велічыня, як ужо было сказана, ўлічвае таксама вага кожнага колькасці, выкарыстанага ў разліках. Акрамя гэтага існуюць таксама сярэднеўзважанае геаметрычнае і гарманічнае значэння.

Маецца яшчэ адна цікавая разнавіднасць, выкарыстоўваная ў шэрагах лікаў. Гаворка ідзе пра ўзважаным слізгальнай сярэднім значэнні. Менавіта на яго аснове разлічваюцца трэнды. Акрамя саміх значэнняў і іх вагі там таксама выкарыстоўваецца перыядычнасць. І пры вылічэнні сярэдняга значэння ў нейкі момант часу таксама ўлічваюцца велічыні за папярэднія часавыя адрэзкі.

Разлік усіх гэтых значэнняў не так ужо і складзены, аднак на практыцы звычайна выкарыстоўваецца толькі звычайнае сярэднеўзважанай значэнне.

спосабы разліку

У стагоддзе павальнай кампутарызацыі няма неабходнасці вылічаць сярэднеўзважанай значэнне ўручную. Аднак нялішнім будзе ведаць формулу разліку, каб можна было праверыць і пры неабходнасці адкарэктаваць атрыманыя вынікі.

Прасцей за ўсё будзе разгледзець вылічэнне на канкрэтным прыкладзе.

Неабходна даведацца, якая ж сярэдняя аплата працы на гэтым прадпрыемстве з улікам колькасці рабочых, якія атрымліваюць той ці іншы заробак.

Такім чынам, разлік сярэдняўзважаны значэння вырабляецца з дапамогай такой формулы:

x = (a ₁ * w ₁ + a ₂ * w ₂ + ... + _a n * _w n) / (w ₁ + w ₂ + ... + _w n)

Для прыкладу жа вылічэнне будзе такім:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Відавочна, што няма асаблівых складанасцяў з тым, каб ўручную разлічыць сярэднеўзважанай значэнне. Формула ж для вылічэння гэтай велічыні ў адным з самых папулярных прыкладанняў з формуламі - Excel - выглядае як функцыя СУММПРОИЗВ (шэраг лікаў; шэраг вагаў) / сум (шэраг вагаў).