Як вылічыць плошчу сегмента і плошча сегмента сферы

Матэматычная велічыня плошчы вядомая з часоў старажытнай Грэцыі. Яшчэ ў тыя далёкія часы грэкі высветлілі, што плошчай з'яўляецца суцэльная частка паверхні, якая абмежаваная з усіх бакоў замкнёным контурам. Гэта лічбавая велічыня, якая вымяраецца ў квадратных адзінках. Плошчу з'яўляецца лікавай характарыстыкай як плоскіх геаметрычных фігур (планиметрических), так і паверхняў тэл ў прасторы (аб'ёмных).

У цяперашні час яна сустракаецца не толькі ў рамках школьнай праграмы на ўроках геаметрыі і матэматыкі, але і ў астраноміі, побыце, у будаўніцтве, у канструктарскіх распрацоўках, у вытворчасці і ў многіх іншых сферах дзейнасці чалавека. Вельмі часта да вылічэння плошчаў сегментаў мы звяртаемся на прысядзібным участку пры афармленні ландшафтнай зоны або пры рамонтных працах ўльтрасучаснага дызайну памяшкання. Таму веды метадаў вылічэння плошчы розных геаметрычных фігур спатрэбяцца заўсёды і ўсюды.

Для вылічэння плошчы кругавога сегмента і сегмента сферы неабходна разабрацца з геаметрычнымі тэрмінамі, якія спатрэбяцца пры вылічальным працэсе.

Перш за ўсё, сегментам круга называецца фрагмент плоскай фігуры круга, які размешчаны паміж дугой акружнасці і адсякае яе хорд. Не варта гэта паняцце блытаць з фігурай сектара. Гэта зусім розныя рэчы.

Хорд завецца адрэзак, які злучае дзве кропкі, якія ляжаць на акружнасці.

Цэнтральны кут утворыцца паміж двума адрэзкамі - радыусамі. Ён вымяраецца ў градусах дугой, на якую ўпіраецца.

Сегмент сферы утворыцца пры отсекании якой-небудзь плоскасцю частцы шара (сферы). Пры гэтым падставай сферычнага сегмента атрымліваецца круг, а вышынёй з'яўляецца перпендыкуляр, выходны ад цэнтра круга да перасячэння з паверхняй сферы. Гэтая кропка перасячэння называецца вяршыняй сегмента шара.

Для таго, каб вызначыць плошчу сегмента сферы, трэба ведаць даўжыню акружнасці адсячэнне круга і вышыню шаравога сегмента. Твор гэтых двух складнікаў і будзе з'яўляцца плошчай сегмента сферы: S = 2πRh, дзе h - вышыня сегмента, 2πR - даўжыня акружнасці, а R - радыус вялікага круга.

Для таго, каб вылічыць плошчу сегмента круга, можна звярнуцца да наступных формулах:

1. Каб знайсці плошчу сегмента самым простым спосабам, неабходна вылічыць рознасць паміж плошчай сектара, у які ўпісаны сегмент, і плошчай роўнабаковага трыкутніка, у якога падстава з'яўляецца хорд сегмента: S1 = S2-S3, дзе S1 - плошча сегмента, S2 - плошча сектара і S3 - плошча трохвугольніка.

Можна скарыстацца набліжанай формулай вылічэння плошчы кругавога сегмента: S = 2/3 * (a * h), дзе a - падстава трыкутніка або даўжыня хорды, h - вышыня сегмента, якая з'яўляецца вынікам рознасці паміж радыусам круга і вышынёй роўнабаковага трыкутніка.

2. Плошча сегмента, які адрозніваецца ад паўкола, падлічваецца наступным чынам: S = (π R2: 360) * α ± S3, дзе π R2 - плошча круга, α - градусная мера цэнтральнага кута, якая ўтрымлівае дугу сегмента круга, S3 - плошча трохвугольніка , які ўтварыўся паміж двума радыусамі круга і хорд, які валодае вуглом у цэнтральнай кропцы круга і двума вяршынямі ў месцах судакранання радыусаў з акружнасцю.

Калі кут α <180 градусаў, выкарыстоўваецца знак мінус, калі α> 180 градусаў, прымяняецца знак плюс.

3. Вылічыць плошчу сегмента можна і іншымі метадамі пры дапамозе трыганаметрыі. Як правіла, за аснову бярэцца трохкутнік. Калі цэнтральны кут вымяраецца ў градусах, тады прымальная наступная формула: S = R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, дзе R2 - квадрат радыусу круга, α - градусная мера цэнтральнага кута.

4. Каб разлічыць плошчу сегмента з дапамогай трыганаметрычных функцый, можна скарыстацца і іншай формулай пры ўмове, што цэнтральны кут вымяраецца ў радыянах: S = R2 * (α - sin α) / 2, дзе R2 - квадрат радыусу круга, α - градусная мера цэнтральнага кута.