Ўласцівасці лагарыфмаў, або дзіўнае - побач ...

Патрэба ў вылічэннях з'явілася ў чалавека адразу ж, як толькі ён здолеў даць колькасную ацэнку навакольным яго прадметах. Можна меркаваць, што логіка колькаснай ацэнкі паступова прывяла да неабходнасці правядзення разлікаў тыпу «складанне-адніманне». Гэтыя два найпростых дзеянні першапачаткова з'яўляюцца асноўнымі - усе астатнія маніпуляцыі з лічбамі, вядомыя, як множанне, дзяленне, узвядзенне ў ступень і г.д. - гэта простая «механізацыя» нейкіх вылічальных алгарытмаў, у аснове якіх ляжыць найпростая арыфметыка - «скласці-адняць». Як бы там ні было, але стварэнне алгарытмаў вылічэнняў з'яўляецца буйным дасягненнем думкі, а іх аўтары назаўжды пакідаюць свой след у памяці чалавецтва.

Шэсць-сем стагоддзяў таму ў галіне марской навігацыі і астраноміі ўзрасла патрэба ў вялікіх аб'ёмах вылічэнняў, што і не дзіўна, бо менавіта сярэднявеччы вядома развіццём мараплаўства і астраноміі. У дакладнай адпаведнасці з фразай «патрэба нараджае прапанову» некалькіх матэматыкаў ахінула ідэя - замяніць вельмі працаёмкую аперацыю множання двух лікаў простым складаннем (дуального разглядалася і ідэя замяніць дзяленне адніманнем). Рабочы варыянт новай сістэмы вылічэнняў быў выкладзены ў 1614 годзе ў рабоце Джона Непер з вельмі характэрным назовам «Апісанне дзіўнай табліцы лагарыфмаў». Безумоўна, далейшае ўдасканаленне новай сістэмы працягвалася і далей, але асноўныя ўласцівасці лагарыфмаў былі выкладзены яшчэ Непер. Ідэя сістэмы вылічэнні з выкарыстаннем лагарыфмаў заключалася ў тым, што калі нейкі шэраг лікаў ўтварае геаметрычную прагрэсіі, то іх лагарыфмы ўтвараюць таксама прагрэсіі, але ўжо арыфметычную. Пры наяўнасці загадзя складзеных табліц новая методыка вядзення разлікаў спрашчала вылічэнні, а першая лагарыфмічная лінейка (1620 г.) стала, бадай, першым старажытным і вельмі эфектыўным калькулятарам - незаменным інжынерным інструментам.

Для першапраходцаў дарога заўсёды з выбоінамі. Першапачаткова падстава лагарыфма было ўзята няўдала, і дакладнасць разлікаў была невысокая, але ўжо ў 1624 годзе былі выдадзеныя удакладненыя табліцы з дзесятковым падставай. Ўласцівасці лагарыфмаў выцякаюць з сутнасці азначэнні: лагарыфм ліку b - гэта такі лік С, якое, будучы ступенню падставы лагарыфма (лік A), дае ў выніку лік b. Класічны варыянт запісу выглядае так: logA (b) = C - што чытаюць так: лагарыфм b, па падставе A, ёсць лік C. Для выканання дзеянняў з выкарыстаннем не зусім звычайных, лагарыфмічных лікаў, неабходна ведаць нейкі набор правілаў, вядомы як «ўласцівасці лагарыфмаў ». У прынцыпе ўсе правілы маюць агульны падтэкст - як складаць, адымаць і ператвараць лагарыфмы. Вось зараз мы і даведаемся, як гэта робіцца.

Лагарыфмічны нуль і адзінка

1. logA (1) = 0, лагарыфм ліку 1 раўняецца 0 пры любым падставе - гэта прамое следства ўзвядзення лікі ў нулявую ступень.

2. logA (A) = 1, лагарыфм аднолькавага з падставай колькасці роўны 1 - таксама добра вядомая ісціна для любога ліку ў першай ступені.

Складанне і адніманне лагарыфмаў

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - сума лагарыфмаў некалькіх лікаў роўная лагарыфму іх творы.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - рознасць лагарыфмаў лікаў, аналагічна з папярэднім, роўная лагарыфму адносіны гэтых лікаў.

5. logA (1 / n) = - logA (n), лагарыфм зваротнага колькасці роўны лагарыфму гэтага ліку са знакам «мінус». Няцяжка бачыць, што гэта вынік папярэдняга выказвання 4 пры m = 1.

Нескладана заўважыць, што правілы 3-5 мяркуюць у абедзвюх частках роўнасцяў аднолькавае падстава лагарыфма.

Паказчыкі ступені ў лагарыфмічных выразах

6. logA (mn) = n * logA (m), лагарыфм ліку ў ступені n роўны лагарыфму гэтага ліку, памножанай на паказчык ступені n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), што чытаецца як «лагарыфм ліку b, калі падстава мае выгляд Ac, роўны твору лагарыфма b з падставай A і лікі, зваротнага c».

Формула змены падставы лагарыфма

8. logA (b) = - logC (b) / logc (A), лагарыфм ліку b з падставай A пры пераходзе да падставы C вылічаецца як прыватная лагарыфма b з падставай С і лагарыфма з падставай З лiку, роўнага папярэдняга падставы A, прычым са знакам «мінус».

Пералічаныя вышэй лагарыфмы і іх ўласцівасці дазваляюць пры належным ўжыванні спрасціць вылічэнне вялікіх лікавых масіваў, дзякуючы чаму скарачаецца час правядзення лікавых разлікаў і забяспечваецца прымальны дакладнасць.

Зусім не дзіўна, што ў навуцы і тэхніцы ўласцівасці лагарыфмаў лікаў прымяняюцца для больш натуральнага прадстаўлення фізічных з'яў. Напрыклад, шырока вядома прымяненне адносных велічынь - дэцыбелы пры вымярэнні інтэнсіўнасці гуку і святла ў фізіцы, абсалютнай зорнай велічыні ў астраноміі, вадароднага паказчыка рН ў хіміі і інш.

Эфектыўнасць лагарыфмічных вылічэнняў лёгка праверыць, калі ўзяць, напрыклад, і перамнажаць 3 пятиразрядных ліку «ўручную» (у слупок), з дапамогай табліц лагарыфмаў на аркушы паперы і з дапамогай лагарыфмічнай лінейкі. Дастаткова сказаць, што ў апошнім выпадку вылічэнні зоймуць ад сілы секунд 10. Што самае дзіўнае, дык гэта тое, што на сучасным калькулятары гэтыя вылічэнні зоймуць часу ня менш.